2020-03-22
Стержень длиной $l$, скользивший по гладкой горизонтальной поверхности вдоль своей длины, наезжает на шероховатый участок и останавливается, заехав на него частью своей длины. Какое время длилось торможение, если коэффициент трения между стержнем и шероховатым участком равен $\mu$?
Решение:
В тот момент, когда на шероховатый участок заехала часть стержня длиной $x$ (рис.) и массой $m_{1} = m \frac{x}{l}$, сила трения действует только на эту часть стержня:
$F_{тр} = \mu m_{1}g = \frac{ \mu mg}{l} x$.
Видно, что уравнение движения стержня
$mx^{ \prime \prime} = - \frac{ \mu mg}{l} x$
совпадает с уравнением гармонических колебаний. Значит, движение стержня до остановки происходит по закону $x = A \sin \omega t$ (движение от центральной точки), где $\omega = \sqrt{ \frac{ \mu g}{l}}$, и время до остановки равно одной четверти периода воображаемых колебаний:
$t = \frac{1}{4} \frac{2 \pi}{ \omega } = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{l}{ \mu g} }$.