2020-02-29
Скорость звука в воздухе зависит от температуры и от давления. При атмосферном давлении повышение температуры от 273 К до 300 К (на 10%) приводит к увеличению скорости звука от 331 м/с до 347 м/с (примерно на 5%). Чтобы при постоянной температуре 300 К увеличить скорость звука в воздухе на 5%, нужно поднять давление от атмосферного до 7 МПа, т.е. в 70 раз. Объясните причины такого различия.
Решение:
При давлениях порядка атмосферного длина свободного пробега $\lambda$ молекул воздуха, т.е. азота и кислорода, обратно пропорциональна концентрации молекул $n$ и примерно в 300 раз больше диаметров $D$ самих молекул. Ее можно рассчитать по формуле $\lambda = \frac{1}{ \sqrt{2} \pi n D }$. Поэтому передача возмущений давления от места, где они возникли, в другие места осуществляется со скоростью звука $v_{зв}$, по порядку величины совпадающей со скоростью теплового движения самих молекул $v_{т} = \sqrt{ \frac{RT}{M}}$ (здесь $M$ - молярная масса газа). Молекулы можно рассматривать как достаточно жесткие шарики, которые при столкновениях изменяют свои импульсы и энергии. При этом во время столкновения молекул "возмущение" может перемещаться быстрее, чем движутся сами молекулы. Пусть, например, до удара одна молекула двигалась со скоростью $u$, а другая покоилась. Тогда при лобовом столкновении за короткое время удара $\Delta t$ центр масс двух молекул переместится на расстояние $u \Delta t/2$, а перемещение возмущения составит $u \Delta t/2 + D$. При этом скорость перемещения возмущения будет равна $u/2 + D/ \Delta t$. Кстати, из этой "оценочной" формулы видно, что при достаточно большом времени соударения (т.е. при мягких шариках) скорость распространения звука может не увеличиваться, а уменьшаться.
Резюме: при повышении давления доля пути, пройденного звуком в среде, обусловленная свободным полетом молекул, уменьшается, а доля пути, пройденного звуком по молекулам при их столкновениях, увеличивается. Поскольку при атмосферном давлении первая доля была значительно больше второй доли, увеличение давления сказывается на скорости звука в значительно меньшей степени, чем повышение температуры.