2020-02-29
Под потолком комнаты закреплен блок радиусом $R$ с неподвижной горизонтальной осью, находящейся на высоте $H$ над полом (см. рисунок). Масса шкива блока $M$ распределена равномерно по его ободу. Трение в оси блока отсутствует. Под блоком на столе высотой $H - L$ находится бухта однородной цепочки с мелкими звеньями, масса единицы длины которой равна $\rho$. Цепочка перекинута через блок и частично лежит на полу, ее свободные участки вертикальны. Цепочку сначала удерживают, а затем отпускают. Какой будет установившаяся скорость движения цепочки, если бухта на столе еще не закончилась? Как зависит скорость движения цепочки на вертикальных участках от времени? Через какое время после старта скорость цепочки станет равной половине от установившегося значения?
Решение:
Будем искать ответы на вопросы в порядке их поступления. Когда скорость движения цепочки уже установилась, на ее вертикальный участок, расположенный ниже уровня стола, действует сумма сил, равная нулю. Значит, на уровне стола сила натяжения цепочки равна $F = \rho g (H - L)$. С такой же по величине силой натянута цепочка и на небольшой высоте над столом. За малое время $\Delta t$ из бухты вытягивается участок цепочки массой $\Delta m = \rho v \Delta t$, который под действием силы $F$ приобретает импульс $\Delta mv$. Отсюда находим установившую скорость движения цепочки:
$v_{уст} = \sqrt{g(H - L)}$.
Теперь предположим, что скорость еще не установилась, и найдем связь между текущей скоростью движения $v$ и ускорением $a$. В данный момент масса движущейся части механической системы равна
$M^{*} = M + \rho (L + H + \pi R)$.
Там, где из бухты выдергиваются очередные звенья, цепочка натянута с силой $f = \rho v^{2}$, а разница сил тяжести, действующих на правый и левый вертикальные участки цепочки, равна $F = \rho g(H - L)$. Уравнение движения системы принимает вид
$F - f = \rho g (H - L) - \rho v^{2} = aM^{*} = a (M + \rho (L + H + \pi R) )$,
или
$v_{уст}^{2} - v^{2} = \frac{aM^{*} }{ \rho}$.
Преобразуем это уравнение к виду
$\frac{ \Delta v}{v_{уст} + v } + \frac{ \Delta v}{v_{уст} - v } = \frac{2 \rho v_{уст} }{M^{*} } \Delta t$
и запишем общее решением этого уравнения:
$ln \frac{v_{уст} + v}{v_{уст} - v } = \frac{2 \rho v_{уст} }{M^{*} } t + const$.
В начальный момент $v(0) = 0$, поэтому $const = 0$. Отсюда получаем зависимость между скоростью цепочки и временем, прошедшим с момента отпускания цепочки:
$\frac{v_{уст} + v_{t} }{v_{уст} - v_{t}} = e^{ \frac{ 2 \rho v_{уст} }{M^{*} } t }$,
$v_{t} = v_{уст} \frac{e^{ \frac{2 \rho v_{уст} }{M^{*} } } - 1 }{e^{ \frac{2 \rho v_{уст} }{M^{*} } t } + 1 }$.
Чтобы ответить на последний вопрос, подставим в полученное выражение $v_{T} = \frac{v_{уст}}{2}$. Получаем
$T = \frac{M^{*} ln 3 }{2 \rho v_{уст} }$.