2020-02-29
Трубка с гладкими внутренними жесткими стенками открыта с двух концов и имеет длину $L$. Она вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее концов, с постоянной угловой скоростью $\omega$ против часовой стрелки, если смотреть сверху. Ось симметрии трубки всегда горизонтальна. На оси вращения внутри трубки закреплена одним концом нить длиной $L/2$, а к другому концу прикреплен маленький шарик, диаметр которого только немного меньше внутреннего диаметра трубки $d \ll L$. В тот момент, когда нить оказалась вытянутой вдоль меридиана и шарик был ближе всего к северу, нить порвалась. Через какое время и в каком направлении шарик вылетит из трубки? Какова по величине скорость шарика в этот момент?
Решение:
Если "пересесть" в систему отсчета, вращающуюся вместе с трубкой, то для описания движения шарика с помощью законов Ньютона нужно ввести в дополнение к реальным силам еще две силы: центробежную силу инерции и силу Кориолиса. Сила Кориолиса будет компенсироваться силами, действующими на шарик со стороны стенок трубки, поэтому в выбранной неинерциальной системе отсчета шарик будет двигаться прямолинейно внутри трубки. Начальная скорость шарика в этой системе равна нулю, сила инерции равна
$F_{н} = mR \omega^{2}$,
все остальные силы скомпенсированы. Уравнение движения шарика выглядит так:
$m \frac{d^{2}R}{dt^{2} } = mR \omega^{2}$
и имеет такое решение:
$R(t) = A_{1} e^{ \omega t} + A_{2} e^{ - \omega t}$.
Величины $A_{1}$ и $A_{2}$ нужно подобрать такими, чтобы в момент разрыва нити скорость шарика была равна нулю, а расстояние до оси составляло $R(0) = \frac{L}{2}$ . Это соответствует тому, что $A_{1} = A_{2} = \frac{L}{4}$. Из трубки шарик вылетит в тот момент времени, когда
$\frac{L}{4} (e^{ \omega t} + e^{ - \omega t}) = L$.
Из этого уравнения найдем промежуток времени между моментом разрыва нити и моментом вылета шарика из трубки:
$t = \frac{ln (2 + \sqrt{3})}{ \omega}$.
За это время трубка повернется на угол
$\alpha = t \omega = ln(2 + \sqrt{3}) \approx 1,3 рад \approx 75,5^{ \circ}$.
Скорость шарика в исходной системе отсчета складывается из двух составляющих: из скорости вдоль оси трубки $v_{=} = \frac{\omega L \sqrt{3}}{2}$ и из скорости поперек оси трубки $v_{ \perp} = \omega L$. Иными словами, скорость шарика в момент вылета из трубки составляет с мгновенным расположением ее оси угол
$\phi = arctg \frac{v_{ \perp} }{v_{=} } \approx 49,1^{ \circ}$.
Это означает, что вектор скорости будет направлен под углом $\alpha + \phi = 124,6^{ \circ}$ к направлению на север с поворотом против часовой стрелки. Используя морскую символику, это направление обозначается примерно как WWS.
Величину скорости шарика можно найти по теореме Пифагора:
$v = \sqrt{v_{=}^{2} + v_{ \perp}^{2}} = \frac{ \omega L \sqrt{7} }{2}$.