2020-02-29
В полдень по местному географическому времени 21 июня 2014 года выпускники московских школ одновременно выпускают из рук шарики, надутый гелием. Ветра нет, и шарики диаметром $D = 20 см$ поднимаются вверх со скоростью $v = 1 м/с$. С какой скоростью и движутся по горизонтальной поверхности земли тени шариков? На какую высоту $h$ должны подняться шарики, чтобы их тени на земле пропали? Широта Москвы $\phi = 56^{ \circ}$ с. ш.
Указание. Ось собственного вращения Земли и перпендикуляр к плоскости ее орбиты при вращении вокруг Солнца составляют между собой угол $\alpha = 23,44^{ \circ}$. Угловой размер Солнца $\beta = 0,5^{ \circ}$.
Решение:
В этот день в полдень Солнце в северном полушарии поднимается выше всего. Угол между направлением на Солнце и местной вертикалью в полдень равен (рис.)
$\gamma = \phi - \alpha$.
Следовательно, скорость движения тени шарика по земле равна
$u = v tg \gamma \approx 0,64 м/с$.
Солнце имеет угловой размер $\beta$, и когда шарик поднимется достаточно высоко, полная тень сменится неполной, т.е. тень практически пропадет. Высота шарика над поверхностью земли, при которой полной тени шарика в лучах Солнца на земле уже не будет (рис.), должна быть такой, чтобы расстояние от шарика до земли было равно $r = \frac{D}{ \beta}$:
$h = \frac{D}{ \beta } \cos \gamma \approx 19,3 м$.