2020-02-29
Стеклянную плоскопараллельную пластинку в форме диска диаметром $d = 4 см$ разрезали на две части с одинаковыми массами $m = 10 г$ в виде собирающей и рассеивающей линз с фокусными расстояниями $F = +10 см$ и $F_{2} = -10 см$ соответственно (см. рисунок). Линзы раздвинули так, что между ними образовался небольшой зазор постоянной толщины $\delta = 1 мм$. Система линз облучается мощным пучком лазерного излучения интенсивностью $I = 10 кВт/см^{2}$. Рассчитайте эффективную силу взаимодействия между линзами, возникающую из-за преломления света. Через какое время линзы "схлопнутся"? На поверхности линз нанесено просветляющее покрытие. Потерями в стекле пренебречь. Силу тяжести не учитывать.
Решение:
Сила, действующая на собирающую линзу, равна полному изменению импульса фотонов, падающих на линзу в единицу времени. Импульс изменяется из-за преломления света в стекле. При этом происходит изменение только направления движения фотонов без изменения величины их импульсов. Уменьшение составляющей импульса вдоль оптической оси для фотонов, падающих за секунду на кольцо радиусом $r$ и толщиной $dr$, равна действующей на это кольцо силе:
$df = \frac{I}{c} \cdot 2 \pi rdr (1 - \cos \phi ) \approx \frac{I \pi r \phi^{2} }{c} dr \approx \frac{I \pi r^{3}}{cF^{2} } dr$.
Полная сила, действующая на собирающую линзу, равна
$f = \int \frac{I \pi r^{3} }{cF^{2} } dr = \frac{I \pi d^{4} }{64 cF^{2} } = 4,2 \cdot 10^{-6} Н$.
Очевидно, что при выходе из системы линз, представляющей собой плоскопараллельную пластинку, пучок вновь распространяется параллельно оптической оси, а значит, рассеивающая линза восстанавливает импульс фотонов. Иными словами, сила, действующая на рассеивающую линзу, по величине тоже равна $f$, но направлена в сторону собирающей линзы. Таким образом, в поле лазерного излучения между линзами возникает эффективная сила притяжения, равная
$f = 4,2 \cdot 10^{-6} H$.
Под действием этой силы линзы, двигаясь с ускорением
$a = \frac{f}{m} = 4,2 \cdot 10^{-4} м/с^{2} = 0,42 мм/с^{2}$,
столкнутся через время
$t = \sqrt{ \frac{2 \frac{ \delta }{2} }{a} } \approx 1,54 c$.