2020-02-29
Три невесомых шкива радиусами $R, 2R$ и $3R$ концентрично скреплены между собой в единый блок и насажены на ось, на которой блок может вращаться без трения (см. рисунок). На шкивы намотаны невесомые и нерастяжимые нити, к которым подвешены грузы массами $10m, m$ и $2m$ соответственно. Найдите ускорение груза массой $10m$.
Решение:
Сначала рассмотрим "очевидное" решение. Из рисунка сразу видно, что блок из шкивов будет вращаться по часовой стрелке, ибо суммарный вращающий момент, образуемый силами тяжести, действующими на два правых груза, заведомо больше вращающего момента, создаваемого силой тяжести, действующей на левый груз. Пусть угловое ускорение блока равно $\epsilon$. Тогда линейные ускорения грузов, подвешенных на нитях, намотанных на шкивы радиусами $R, 2R$ и $3R$, будут равны $R \epsilon, 2R \epsilon$ и $3R \epsilon$ соответственно, причем ускорение левого груза направлено вертикально вверх, а ускорения двух правых грузов - вертикально вниз. Обозначим силы натяжения нитей через $T_{1}, T_{2}$ и $T_{3}$ соответственно. Тогда, выбрав для каждого груза в качестве положительного направление его ускорения, можем записать уравнения движения грузов:
$10m \cdot R \epsilon = 10mg - T_{1}$,
$m \cdot 2R \epsilon = T_{2} - mg$,
$2m \cdot 3R \epsilon = 2mg - T_{3}$.
Эта система, к сожалению, имеет четыре неизвестных: $\epsilon, T_{1}, T_{2}$ и $T_{3}$. Поэтому необходимо еще одно уравнение. Его можно записать для вращения блока. Если момент инерции блока обозначить через $I$, а положительным направлением считать вращение по часовой стрелке, то получаем
$I \epsilon = R \cdot T_{1} - 2R \cdot T_{2} + 3R \cdot T_{3}$.
Так как все шкивы невесомые, то момент инерции блока равен нулю: $I = 0$, поэтому последнее уравнение (после сокращения на $R$) можно записать в виде
$T_{1} - 2T_{2} + 3T_{3} = 0$.
Таким образом, получаем систему из четырех уравнений, решая которую, находим T 45
$T_{1} = \frac{45}{8} mg$
(значения остальных переменных нас не интересуют). Тогда суммарная сила, действующая на груз массой $10m$, равна $10mg - \frac{45}{8} mg = \frac{35}{8} mg$, и ускорение этого груза составляет
$a_{1} = \frac{35}{8} mg : (10m) = \frac{7}{16} g$.
Казалось бы, все в порядке, но давайте попробуем найти еще и ускорение груза массой $2m$. Это можно сделать, вычислив предварительно силу натяжения нити $T_{3}$, но можно и рассуждая логически. Так как радиус шкива, к которому нитью прикреплен груз массой $2m$, втрое больше радиуса шкива с грузом массой $10m$, то и ускорение будет в 3 раза больше и составит
$a_{3} = 3 \cdot \frac{7}{16}g = \frac{21}{16}g$.
Это больше, чем ускорение свободного падения! Иными словами, груз массой $2m$ пойдет вниз стремительней, чем если бы он свободно падал. Что-то здесь не так.
Впрочем, ответ выползает на поверхность, если не полениться и все-таки найти силу натяжения нити $T_{3}$. Она оказывается равной $\left ( - \frac{5}{8} mg \right )$, т.е. отрицательному числу. А это означает, что если бы груз массой $2m$ соединялся со шкивом не нитью, а жестким стержнем, то этот стержень сам толкал бы груз вниз (дополнительно к силе тяжести) и груз получил бы такое ускорение. Оно и неудивительно - из условия сразу видно, что главной "движущей силой" блока является груз массой $10m$, а остальные - так, довески.
Ну, а теперь приступим к правильному решению. Поскольку груз массой $2m$ будет фактически свободно падать и его нить не будет натянута, то останется система из двух грузов массами $m$ и $10m$. Для нее составляем "урезанную" систему - на этот раз из трех уравнений:
$10m \cdot R \epsilon = 10mg - T_{1}$,
$m \cdot 2R \epsilon = T_{2} - mg$,
$T_{1} - 2T_{2} = 0$.
Отсюда получаем
$T_{1} = \frac{30}{7} mg, 10mg - T_{1} = 10mg - \frac{30}{7} mg = \frac{40}{7} mg$,
$a_{1} = \frac{40}{7} mg : (10m) = \frac{4}{7}g$.
Отметим, что это ускорение больше, чем полученное первоначально. В чем дело - понятно: грузу массой $10m$ не надо "тратить силы" на толкание груза массой $2m$, поэтому он и будет ускоряться быстрее.