2020-02-29
Из речного порта A к расположенному ниже по течению реки порту B одновременно стартовали буксир и четыре ($N$) загруженных плота. Расстояние между портами $L$, скорость течения реки и. Буксир тащит плоты по одному, при этом его скорость $v$ относительно воды с буксируемым плотом такая же, как и без плота. За какое минимальное время все плоты могут быть доставлены в порт B? Время, нужное для сцепления и расцепления плотов с буксиром, мало. Размерами плотов и буксира в сравнении с $L$ можно пренебречь.
Решение:
Для того чтобы все загруженные плоты доплыли до порта В за минимальное время, необходимо, чтобы они прибыли в порт B одновременно. Значит, на буксировку каждого плота в направлении пункта назначения должно быть потрачено одинаковое время. Плоты без буксира плывут со скоростью течения, т.е. относительно воды не движутся. Допустим, первый плот был в момент старта взят на буксир и его тащили вперед в течение времени $\tau$. Для возвращения буксира к оставшимся позади плотам требуется такое же время. Потом буксир подтягивает второй плот к первому и снова возвращается к плотам, оставшимся позади. И так далее. Время $\tau$ нужно подобрать таким, чтобы к моменту, когда буксир подтащит последний плот к группе плотов, все они оказались бы в пункте назначения. Общее время движения будет равно $2 \tau + 2 \tau + 2 \tau + \tau = 7 \tau$ (или $\tau (2N -1)$). При этом самый первый плот из всего этого времени в течение промежутка $6 \tau$ (или $2 \tau (N - 1)$) плыл без помощи буксира и только в течение времени $\tau$ его тащил буксир. Следовательно,
$\tau (v + u) + 6 \tau u = L$,
откуда
$\tau = \frac{L}{v + 7u}, t_{min} = 7 \tau = \frac{7L}{v + 7u}$ (или $t_{min} = \frac{(2N - 1)L}{v + (2N -1)}$).