2020-02-22
Толстостенный светонепроницаемый ящик установлен под открытым небом в пасмурный день, когда все небо одинаково светлое и солнца не видно. В его верхней стенке (крышке) просверлено вертикальное отверстие, и через него в ящик пропущен длинный однородный прозрачный цилиндр (световод) круглого сечения радиусом $r = 1 см$. Стенки цилиндра гладкие, они не касаются стенок дырки, покрашенных в черный цвет. Верхний торец световода находится снаружи, а нижний - внутри ящика. Под торцом цилиндра на горизонтальном дне ящика лежит плоский экран. Расстояние от нижнего торца цилиндра до экрана $L = 1 м \gg r$. На экране наблюдается светлое пятно радиусом $R = 1 м$. С какой скоростью распространяется свет в материале, из которого сделан цилиндр?
Решение:
Свет попадает в прозрачный цилиндрический стержень через поверхность верхнего торца со всевозможных направлений (см. рисунок). В соответствии с законом преломления света, максимальный угол $\alpha$, который составляют лучи света внутри стержня с его осью симметрии, находится из соотношения
$\frac{sin \alpha}{ \sin \frac{ \pi}{2} } = \frac{v}{c}$,
где $c$ - скорость света в вакууме, а $v$ - скорость света в материале стержня. При падении света на вертикальные стенки цилиндра изнутри свет частично отражается, а частично проходит сквозь границу раздела и затем теряется на покрашенной черной краской стенке дырки. Лучи, падающие на стенки под углом, большим угла полного внутреннего отражения, не теряют энергии, так как отражаются полностью. В результате многих отражений (стержень длинный) до нижнего торца стержня добираются только эти лучи. Через нижний торец стержня выходят лучи, составляющие с осью симметрии стержня максимальный угол
$\beta = arctg \frac{R}{L}$.
Внутри стержня эти лучи составляли с осью стержня максимальный угол $\gamma$ такой что
$\frac{sin \gamma}{ \sin \beta} = \frac{v}{c}$.
При этом угол полного внутреннего отражения в стержне равен $\frac{ \pi}{2} - \gamma$, поэтому
$\sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \gamma \right ) = \cos \gamma = \frac{v}{c}$.
Выразим синус угла $\gamma$ через его косинус:
$\sin \gamma = \sqrt{1 - \cos^{2} \gamma} = \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } }$
и синус угла $\beta$ через его тангенс:
$\sin \beta = \frac{tg \beta}{ \sqrt{1 + tg^{2} \beta } } = \frac{1}{ \sqrt{ \frac{L^{2} }{R^{2} } + 1 } }$.
Из полученных соотношений можно найти скорость $v$:
$v = c \sqrt{ \frac{ \left ( \frac{L}{R} \right )^{2} + 1 }{ \left ( \frac{L}{R} \right )^{2} + 2 } } = c \sqrt{ \frac{2}{3} } \approx 0,82c$.