2020-02-22
Два маятника имеют одинаковые длины легких нерастяжимых нитей, концы которых прикреплены к потолку, и одинаковые маленькие грузы на концах нитей. Грузы отвели от положения равновесия, сохраняя натянутость нитей, при этом нити составили одинаковые углы с вертикалью. Один из грузов толкнули в горизонтальном направлении, перпендикулярном нити, к которой этот груз прикреплен, и одновременно отпустили без начальной скорости второй груз. Трения в системе нет. Нить первого маятника в процессе движения всегда составляет с вертикалью один и тот же угол. Оказалось, что эти два маятника одновременно попадают каждый в свое начальное положение после того, как пройдет время, равное 100 периодам колебаний одного маятника и 101 периоду колебаний другого маятника. На какой угол были отклонены нити от вертикали в начальный момент? Период математического маятника длиной $L$ в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения $g$ при малом значении максимального угла отклонения от положения равновесия $\alpha ( \alpha < 1)$ хорошо описывается формулой
$T = T_{0} \left ( 1 + \frac{1}{4} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} \right )$, где $T_{0} = \sqrt{ \frac{L}{g} }$.
Решение:
Обозначим угол, который нам нужно найти, через $\alpha$. Введем обозначение $L$ для длины нити и $m$ для массы шариков, хотя понятно, что ответ не будет зависеть от этих величин. Нить первого маятника движется так, что заметаемая ею поверхность образует в пространстве конус, такой маятник называют коническим. Радиус траектории, по которой движется первый шарик, равен $L \sin \alpha$. Суммарная сила, обеспечивающая этому шарику движение по окружности, равна по величине $mg tg \alpha$. Скорость шарика неизменна по величине, поэтому можно выразить период движения первого маятника через $L, g$ и угол $\alpha$ :
$T_{кон} = \frac{2 \pi R}{v} = \frac{2 \pi L \sin \alpha}{ \sqrt{Lg \sin \alpha tg \alpha } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{L \cos \alpha }{g} }$.
Нить второго шарика всегда находится в одной и той же плоскости (вращение Земли мы, конечно, учитывать не будем) - этот маятник принято называть математическим. Второй шарик колеблется вблизи положения равновесия, и его движение подчиняется уравнению
$\phi^{ \prime \prime} + \frac{g}{L} \sin \phi = 0$.
Это НЕ уравнение гармонических колебаний! Однако, поскольку периоды движений конического и математического маятников отличаются весьма мало, следует предположить, что угол $\alpha$ мал в сравнении с единицей, т.е. периоды колебаний маятников близки к величине $2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g}}$. Для математического маятника при малых значениях угла $\alpha$ период равен примерно
$T_{мат} \approx 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} } \left ( 1 + \frac{ \alpha^{2} }{16} \right )$.
Период движения конического маятника представим в таком же виде:
$T_{кон} = 2 \pi \sqrt{ \frac{L \cos \alpha }{g} } \approx 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} } \sqrt{ 1 - \frac{ \alpha^{2} }{2} } \approx 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} } \left ( 1 - \frac{ \alpha^{2} }{4} \right )$.
Теперь воспользуемся данными из условия:
$101T_{кон} = 100T_{мат}$, или $101 \left ( 1 - \frac{ \alpha^{2} }{4} \right ) = 100 \left ( 1 + \frac{ \alpha^{2} }{16} \right )$.
Отсюда следует
$\alpha \approx 0,178 рад \approx 10,2^{ \circ}$.
Угол получился, действительно, весьма малым, что оправдывает применение приближенных формул для расчета периодов движений маятников.