Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13511
2020-02-22 
В цепи, схема которой изображена на рисунке, по очереди замыкают ключи $K_{1} - K_{5}$, выжидая каждый раз достаточно длительное время до окончания процессов зарядки конденсаторов. Во сколько раз отличаются количества теплоты, выделившиеся в резисторе $R$ после замыкания ключа $K_{1}$ и ключа $K_{5}$? До замыкания каждого из этих ключей все остальные ключи уже были замкнуты. Сопротивления всех проводов и источника тока пренебрежимо малы.
Решение:
Согласно закону сохранения энергии, после замыкания ключа $K_{1}$ работа источника $U \Delta q$ при зарядке первого конденсатора емкостью $C$ до напряжения $U$ расходуется на создание в этом конденсаторе электростатического поля, обладающего энергией $\frac{CU^{2}}{2}$, и на выделение в резисторе количества теплоты $Q_{1}$:
$U \Delta q = \frac{CU^{2} }{2} + Q_{1}$.
При полной зарядке конденсатора его заряд равен $\Delta q = CU$, откуда получаем
$Q_{1} = \frac{CU^{2} }{2}$.
При замыкании ключей $K_{2} - K_{5}$ следует учесть, что все сопротивления проводов пренебрежимо малы, но они обладают маленькой индуктивностью, поэтому вначале происходит быстрый неквазистационарный процесс перераспределения зарядов между уже заряженными конденсаторами и каждым следующим незаряженным конденсатором. При этом возникают электромагнитные колебания, сопровождающиеся излучением электромагнитных волн и потерями части энергии, запасенной в заряженных конденсаторах. После того как заряды на соединенных конденсаторах выровняются, происходит более медленный, квазистационарный процесс их дозарядки до напряжения источника $U$ через резистор, при этом после замыкания очередного ключа через источник каждый раз протекает один и тот же заряд $\Delta q$.
После замыкания ключей $K_{1} - K_{4}$ первые 4 конденсатора зарядятся до напряжения источника $U$, и их заряд будет равен $4 \Delta q = 4CU$. Когда будет замкнут ключ $K_{5}$, этот заряд быстро перераспределится между пятью конденсаторами, так что на каждом из них окажется заряд $\Delta q^{ \prime} = \frac{4CU}{5}$, напряжение на каждом конденсаторе будет $U^{ \prime} = \frac{4CU}{5}$ и энергия всех 5 заряженных конденсаторов составит
$W^{ \prime} = \frac{5CU^{ \prime 2} }{2} = \frac{8}{5} CU^{2}$.
При дальнейшей медленной дозарядке через источник протечет еще один заряд $\Delta q = CU$, источник опять совершит работу $U \Delta q = CU^{2}$, энергия пяти заряженных конденсаторов станет равной
$W = \frac{5CU^{2} }{2}$,
и в резисторе выделится количество теплоты $Q_{5}$. Таким образом, закон сохранения энергии на этом этапе имеет вид $U \Delta q = W - W^{ \prime} + Q_{5}$, откуда находим
$Q_{5} = CU^{2} - \frac{5CU^{2} }{2} + \frac{8}{5}CU^{2} = \frac{CU^{2} }{10}$, и $\frac{Q_{1} }{Q_{5} } = 5$.
В цепи, схема которой изображена на рисунке, по очереди замыкают ключи $K_{1} - K_{5}$, выжидая каждый раз достаточно длительное время до окончания процессов зарядки конденсаторов. Во сколько раз отличаются количества теплоты, выделившиеся в резисторе $R$ после замыкания ключа $K_{1}$ и ключа $K_{5}$? До замыкания каждого из этих ключей все остальные ключи уже были замкнуты. Сопротивления всех проводов и источника тока пренебрежимо малы.
Решение:
Согласно закону сохранения энергии, после замыкания ключа $K_{1}$ работа источника $U \Delta q$ при зарядке первого конденсатора емкостью $C$ до напряжения $U$ расходуется на создание в этом конденсаторе электростатического поля, обладающего энергией $\frac{CU^{2}}{2}$, и на выделение в резисторе количества теплоты $Q_{1}$:
$U \Delta q = \frac{CU^{2} }{2} + Q_{1}$.
При полной зарядке конденсатора его заряд равен $\Delta q = CU$, откуда получаем
$Q_{1} = \frac{CU^{2} }{2}$.
При замыкании ключей $K_{2} - K_{5}$ следует учесть, что все сопротивления проводов пренебрежимо малы, но они обладают маленькой индуктивностью, поэтому вначале происходит быстрый неквазистационарный процесс перераспределения зарядов между уже заряженными конденсаторами и каждым следующим незаряженным конденсатором. При этом возникают электромагнитные колебания, сопровождающиеся излучением электромагнитных волн и потерями части энергии, запасенной в заряженных конденсаторах. После того как заряды на соединенных конденсаторах выровняются, происходит более медленный, квазистационарный процесс их дозарядки до напряжения источника $U$ через резистор, при этом после замыкания очередного ключа через источник каждый раз протекает один и тот же заряд $\Delta q$.
После замыкания ключей $K_{1} - K_{4}$ первые 4 конденсатора зарядятся до напряжения источника $U$, и их заряд будет равен $4 \Delta q = 4CU$. Когда будет замкнут ключ $K_{5}$, этот заряд быстро перераспределится между пятью конденсаторами, так что на каждом из них окажется заряд $\Delta q^{ \prime} = \frac{4CU}{5}$, напряжение на каждом конденсаторе будет $U^{ \prime} = \frac{4CU}{5}$ и энергия всех 5 заряженных конденсаторов составит
$W^{ \prime} = \frac{5CU^{ \prime 2} }{2} = \frac{8}{5} CU^{2}$.
При дальнейшей медленной дозарядке через источник протечет еще один заряд $\Delta q = CU$, источник опять совершит работу $U \Delta q = CU^{2}$, энергия пяти заряженных конденсаторов станет равной
$W = \frac{5CU^{2} }{2}$,
и в резисторе выделится количество теплоты $Q_{5}$. Таким образом, закон сохранения энергии на этом этапе имеет вид $U \Delta q = W - W^{ \prime} + Q_{5}$, откуда находим
$Q_{5} = CU^{2} - \frac{5CU^{2} }{2} + \frac{8}{5}CU^{2} = \frac{CU^{2} }{10}$, и $\frac{Q_{1} }{Q_{5} } = 5$.
