2014-05-31
Два одинаковых кубика с длиной ребра $b$ массой $m$ каждый стоят на гладком горизонтальном столе на расстоянии $b$ друг от друга. Между ними помещен рычаг длиной $2 \sqrt{2} b$ с пренебрежимо малой массой. Коэффициент трения между поверхностями кубиков и столом $\mu$. Коэффициент трения между рычагом и кубиками очень большой в точке А и очень маленький в точке С. В точке В приложена
сила $\bar{F}$ направленная перпендикулярно к рычагу, как показано на (рис., а). Определите, какой из кубиков сдвинется раньше, если постепенно увеличивать силу $\bar{F}$.
Решение:
Рассмотрим сначала силы, действующие на рычаг при равновесии системы (см. рис б). В точке В действует сила $\bar{F}$, направленная по нормали к рычагу. Так как в точке С коэффициент трения между рычагом и кубиком, по условию задачи, пренебрежимо мал, то в этой точке к рычагу приложена только сила $\bar{F_{1}}$ реакции кубика, направленная по нормали к рычагу. В точке А на рычаг действует неопределенная сила $\bar{F_{2}}$. Условия равновесия рычага - равенство нулю суммы всех сил и суммы моментов, созданных этими силами, относительно любой точки. Первое из этих условий равновесия имеет вид
$\bar{F} + \bar{F_{1}} + \bar{F_{2}} = 0$. (1)
Второе условие запишем, рассматривая моменты всех сил относительно точки А(Выбор точки определяется простотой соответствующих формул – момент силы $\bar{F_{2}}$ направление и величина которой априори не известны, относительно точки А равен нулю.):
$F_{1} \sqrt{2} b – F \cdot 2 \sqrt{2} b = 0$,
или
$F_{1} - 2F = 0$. (2)
Из равенства (1) и параллельности сил $\bar{F}$ и $\bar{F_{1}}$ следует, что и сила $\bar{F_{2}}$ параллельна $\bar{F}$. С учетом этого из (1) и (2) находим
$\bar{F_{1}} = - 2 \bar{F}, \bar{F_{2}} = \bar{F}$.
Рассмотрим теперь силы, действующие на каждый кубик. Они показаны на (рис. в). Силы реакции $\bar{Q_{1}}$ и $\bar{Q_{2}}$ принимают значения
$Q_{1} = mg + 2 F / \sqrt{2}, Q_{2} = mg – F/ \sqrt{2}.$
Qi=mg + Q2 = тд - F/y/2.
Горизонтальные составляющие $R_{1}$ и $R_{2}$ равнодействующих всех сил приложенных к кубикам, определяются формулами
$R_{1} = \sqrt{2} F – F_{т1}, R_{2} = F / \sqrt{2} – F_{т2}.$
При этом, если $\sqrt{2} F \leq F_{т1max}$ и $F/\sqrt{2} \leq F_{т2max}$, то $R_{1} = R_{2} = 0$ и оба кубика покоятся. Правый кубик приходит в движение, если
$\sqrt{2} F > F_{т1max} = \mu Q_{1} = \mu (mg + \sqrt{2} F)$. (3)
Левый кубик двигается, когда
$F / \sqrt{2} \leq F_{т2max} = \mu Q_{2} = \mu (mg – F/ \sqrt{2})$. (4)
При $\mu \geq 1$ неравенство (3) не имеет места и, следовательно, в движение приходит левый кубик. При $\mu < 1$ неравенства (3) и (4) можно привести к виду
$\sqrt{2}F > \frac{\mu mg}{1-\mu}, \frac{F}{\sqrt{2}} > \frac{\mu mg}{1+\mu}.$
Минимальная сила $F_{I}$, необходимая для приведения в движение правого кубика, выражается формулой
$F_{I}=\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\mu mg}{1- \mu}$. (5)
Минимальная сила $F_{II}$, необходимая для приведения в движение левого кубика –
$F_{II} = \sqrt{2} \frac{\mu mg}{1+\mu}$. (6)
Разделим почленно равенство (5) на (6):
$\frac{F_{I}}{F_{II}}= \frac{1+ \mu}{2 (1- \mu)}$. (7)
Из равенства (7) видно, что левый кубик приходит в движение, если
$\frac{1+\mu}{2(1-\mu)} > 1$, т.е. при $\mu > \frac{1}{3}$.
Оба кубика приходят в движение одновременно, если
$\frac{1+\mu}{2(1-\mu)}=1$, т.е. при $\mu = \frac{1}{3}$.
Первым начинает двигаться правый кубик, если
$\frac{1+\mu}{2(1-\mu)}<1$, т.е. при $\mu < \frac{1}{3}$.