2020-02-16
Тонкое велосипедное колесо раскрутила вокруг его оси, удерживая ее неподвижной. При этом пришлось совершишь работу $A$ и вся эта работа пошла на увеличение механической энергии колеса. Дальше осторожно поставили на горизонтальную поверхность тележки такой же массы, которая может свободно двигаться по гладкому горизонтальному столу. Какое максимальное количество теплоты может выделиться в системе, пока колесо не покинет тележку? Колесо во время движения остается вертикальным.
Решение:
Кинетическая энергия колеса после совершения работы $A$ равна
$A = \frac{1}{2} M \omega_{0}^{2} R^{2}$,
где $M$ масса, $\omega_{0}$ - начальная угловая скорость, $R$ - радиус колеса. На достаточно длинной тележке колесо через некоторое время будет двигаться без проскальзывания, и с этого момента выделение тепла прекратится. Ясно, что максимальное количество теплоты выделится именно в этом случае. А до момента прекращения проскальзывания на колесо действует сила трения
$F_{тр} = \mu Mg$,
и для вращающегося колеса уравнение движения выглядит так (см. рисунок):
$F_{тр} \cdot R = - MR^{2} \cdot \frac{ \Delta \omega}{ \Delta t}$, или $\Delta \omega = - \frac{ \mu g}{R} \Delta t$.
Ускорение оси колеса направлено вправо и равно $a = \mu g$, откуда получаем
$\Delta v = a \Delta t = \mu g \Delta t = - \Delta \omega R$.
Ускорение тележки (при равенстве масс) такое же по величине, но направлено влево.
Условие прекращения проскальзывания запишем в виде
$R \omega_{1} = 2v$.
Тогда получаем
$R \omega_{1} = 2R ( \omega_{0} - \omega_{1})$, и $\omega_{1} = \frac{2}{3} \omega_{0}$.
В этот момент скорости тележки и оси колеса одинаковы и равны $\frac{1}{3}R \omega_{0}$. Запишем теперь баланс энергий:
$A = \frac{1}{2} M \left ( \frac{2}{3} \omega_{0} \right )^{2} R^{2} + 2 \frac{M \left ( \frac{R \omega_{0} }{3} \right )^{2}}{2} + Q$,
откуда найдем выделившееся количество теплоты:
$Q = \frac{1}{3}A$.