2020-02-16
К батарейке с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ подключают параллельно соединенные резистор сопротивлением $R$ и катушку индуктивностью $L$. Какое количество теплоты, выделится в резисторе за большое время?
Решение:
Для резистора и катушки можно записать (см. рисунок):
$RI_{1} = + LI_{2}^{ \prime}$.
Для контура, содержащего батарейку и резистор, запишем:
$r(I_{1} + I_{2}) + RI_{1} = \mathcal{E}$.
Возьмем производную по времени от левой и правой частей последнего уравнения:
$(r + R) I_{1}^{ \prime} + rI_{2}^{ \prime} = 0$, или $I_{2}^{ \prime } = - \frac{r + R}{r} I_{1}^{ \prime}$.
За малый интервал времени $\Delta t$ в резисторе выделится количество теплоты
$\Delta W = I_{1}^{2}R \Delta t = I_{1}R \cdot I_{1} \Delta t = + LI_{2}^{ \prime} \cdot I_{1} \Delta t = - \frac{L(r + R) }{r} I_{1}^{ \prime} \cdot I_{1} \Delta t = - \frac{L(r + R) }{r} \cdot \Delta \left ( \frac{I_{1}^{2} }{2} \right )$.
Ток через резистор меняется от начального значения $\frac{ \mathcal{E}}{r + R}$ до нуля, поэтому суммарное количество теплоты будет равно
$W = - \frac{L (r + R) }{r} \left ( 0 - \frac{ \mathcal{E}^{2} }{2(r + R)^{2} } \right ) = \frac{L \mathcal{E}^{2} }{2r(r + R) } $.