2020-02-16
Очень тонкий непроводящий стержень длиной $L$ равномерно заряжен по длине полным зарядом $Q$. Маленькое проводящее кольцо радиусом $R$ сделано из очень тонкой проволоки, его центр совпадает с одним из концов стержня, а плоскость кольца перпендикулярна стержню. Заряд кольца $q$. С какой силой стержень действует на кольцо?
Решение:
Посчитаем силу, действующую на стержень со стороны кольца, - она по величине такая же, как и искомая сила. Проблема в том, что в разных местах стержня напряженность поля кольца различна, можно посчитать интеграл, но он получается довольно громоздким. Попробуем по-другому.
Пусть в некотором месте стержня напряженность поля от зарядов кольца равна $E$, тогда на очень маленький кусочек стержня длиной $\Delta x$ действует сила
$\Delta F = E \Delta Q = \frac{EQ \Delta x}{L}$.
Теперь нужно просуммировать силы, действующие на все кусочки стержня. Но такая же сумма (только без множителя $Q/L$) получается при вычислении разности потенциалов поля зарядов кольца между концами стержня, а ее можно найти совсем просто:
$\Delta \phi = \frac{kq}{R} - \frac{kQ}{ \sqrt{R^{2} + L^{2} } }$.
Осталось умножить это выражение на $Q/L$. Итак,
$F = \frac{kQq}{L} \left ( \frac{1}{R} - \frac{1}{ \sqrt{R^{2} + L^{2} } } \right )$.