2020-02-16
В горизонтальном цилиндрическом сосуде находится порция гелия. Сосуд закрыт массивным поршнем, который может двигаться по горизонтали без трения. С газом в сосуде проводят два опыта: наружное давление увеличивают в три раза - один раз очень быстро, другой раз очень медленно. В каком из опытов конечный объем газа окажется меньше? Во сколько раз?
Решение:
При очень медленном повышении давления получится обычное адиабатическое сжатие газа. Для одноатомного газа связь давления и объема при адиабатическом процессе такова:
$\frac{V_{1}}{V_{2} } = \left ( \frac{p_{2} }{p_{1} } \right )^{3/5} = 3^{3/5} \approx 1,93$.
Если давление повышается скачкообразно, то поршень не остановится, когда давления внутри и снаружи в первый раз сравняются, - в этот момент он обладает значительной кинетической энергией и будет довольно долго колебаться, понемногу уменьшая амплитуду. После окончательной остановки его кинетическая энергия "достанется" газу. Считая, что эта энергия перейдет газу, находящемуся внутри сосуда (конечно, это неверно, но мы получим "крайнюю" оценку), можно записать закон сохранения энергии с учетом работы внешних сил. Давление снаружи можно считать постоянным и равным $3p$ (где $p$ - первоначальное давление), объем меняется от $V_{1}$ до $V_{2}$, тогда работа внешних сил равна
$A_{вн} = 3p (V_{1} - V_{2})$.
Внутренняя энергия газа увеличилась на эту величину, поэтому
$\frac{3}{2} \nu RT_{2} - \frac{3}{2} \nu RT_{1} = 3p (V_{1} - V_{2} )$.
Запишем теперь уравнения для начального и конечного состояний газа в сосуде:
$pV_{1} = \nu RT_{1}$ и $3pV_{2} = \nu RT_{2}$.
Окончательно получим
$\frac{V_{1}}{V_{2} } = \frac{5}{3} \approx 1,67$.
Если учесть, что нагревается и "внешний" газ, то повышение температуры окажется не таким большим, а следовательно, и отношение объемов будет ближе к ранее полученному значению. Аккуратный расчет довольно сложен - он должен учитывать и неодинаковость концентраций газа по обе стороны поршня, и различие скоростей движения частиц из-за разницы температур снаружи и внутри.