2020-02-16
Спутник вращается вокруг Земли по круговой орбите, все время, находясь над одной и той же точкой экватора ("суточный" спутник). По совершенно непонятной причине спутник вдруг остановился (его скорость относительно центра Земли стала нулевой). Оцените время падения спутника на Землю с точностью не хуже 1%.
Решение:
Вначале разберемся с радиусом орбиты "суточного" спутника. Пусть радиус Земли $R$, а радиус орбиты спутника $nR$. Тогда ускорение спутника на орбите в $n^{2}$ раз меньше, чем у поверхности Земли, и для скорости спутника можно записать
$\frac{v^{2}}{nR} = \frac{g}{n^{2}}$.
Время полного оборота спутника составляет
$T = \frac{2 \pi nR}{v}$,
откуда
$n^{3/2} = \frac{T}{2 \pi } \sqrt{ \frac{g}{R} }, n = 6,63$.
Получается очень большое расстояние до центра Земли - радиус орбиты больше 42 тысяч километров. Если бы спутник начал с этой высоты падать на Землю без начальной скорости и если бы размер Земли был очень малым (при той же массе Земли, например, несколько метров), то движение это напоминало бы движение по ОЧЕНЬ узкому эллипсу с длиной большой оси $nR$. Время такого движения равно половине периода обращения по круговой орбите с той же большой осью -радиус такой орбиты $0,5nR$. При уменьшении радиуса орбиты вдвое время оборота уменьшается в $2^{3/2} \approx 2,828$ раз. Тогда время полуоборота составляет
$\frac{24 \cdot 3600 с}{2 \cdot 2,828} \approx 15300 с$.
Но радиус Земли не так мал, мы посчитали время падения "с избытком" - долетев до поверхности, спутник дальше уже не летит. Скорость при подлете к поверхности Земли приближенно равна второй космической скорости, т.е. примерно 11 км/с. С этой скоростью расстояние 6400 км (до центра Земли) еще лететь примерно 600 с, можно просто вычесть их из найденного результата и получить ответ: $\approx$ 14700 секунд.
Однако скорость спутника должна была бы еще возрасти при приближении к центру "маленькой Земли", время полета при этом получается меньше 600 с. Это время $\tau$ можно посчитать поточнее. Пусть до центра Земли осталось лететь $x$ метров, тогда скорость можно найти из соотношения
$\frac{GMm}{x} - \frac{GMm}{nR} = \frac{mv^{2} (x)}{2}$.
Если пренебречь в левой части уравнения вторым слагаемым (погрешность невелика, а интеграл получится совсем простым!), то
$v(x) = \sqrt{ \frac{2GM}{x} } = v_{2} \sqrt{ \frac{R}{x} }$.
Тогда
$\tau = \int \frac{dx}{v(x)} = \frac{2R}{3v_{2} } \approx 400 с$.
Окончательно, время падения составляет приблизительно 15000 с.