2020-02-16
Параллельно друг другу подключены две катушки, индуктивности которых 1 Гн и 2 Гн, и конденсатор емкостью 100 мкФ. Конденсатор в данный момент заряжен до напряжения 200 В, а через катушки текут одинаковые (и одинаково направленные) токи по 0,1 А. Найдите максимальный ток через катушку индуктивностью 1 Гн. Оцените, через какое время напряжение конденсатора изменит знак на противоположный (можно было бы посчитать и точно, но расчет получился бы довольно громоздким). Элементы цепи считайте идеальными.
Решение:
Максимальный (и минимальный) ток через катушку соответствует нулевой ЭДС индукции - конденсатор в такие моменты разряжен. Тогда, в соответствии с законом сохранения энергии, можно записать (см. рисунок)
$\frac{LI_{0}^{2}}{2} + \frac{2LI_{0}^{2}}{2} + \frac{CU_{0}^{2}}{2} = \frac{LI_{1}^{2}}{2} + \frac{2LI_{2}^{2} }{2}$.
В контуре $L - 2L$ магнитный поток сохраняется (сверхпроводящий контур), т.е.
$2 LI_{0} - LI_{0} = 2LI_{2} - LI_{1}$,
откуда
$I_{2} = \frac{I_{0} + I_{1} }{2}$.
После преобразований из первого уравнения получаем
$3I_{1}^{2} + 2I_{0}I_{1} - 5I_{0}^{2} - \frac{2CU_{0}^{2}}{L} = 0$.
Отсюда
$I_{1max} = \frac{ \left | - I_{0} - \sqrt{ I_{0}^{2} + 15I_{0}^{2} + \frac{6CU_{0}^{2} }{LI_{0}^{2} } } \right | }{3} \approx 1,7 А$.
Энергия конденсатора в начальном состоянии во много раз больше, чем энергия катушек. Следовательно, искомый интервал времени практически равен половине периода колебаний:
$\tau = \pi \sqrt{ L_{экв}C} = \pi \sqrt{ \frac{2}{3} LC} \approx 0,026 c$.