2020-02-16
В компьютерной модели по дну квадратной коробки площадью 1 $м^{2}$ скользят две одинаковые шайбы радиусом 1 см. Скорости шайб по величине все время равны 1 м/с, а направление скоростей меняется случайным образом при столкновениях шайб со стенками коробки и между собой. Оцените, за какое время произойдет 1000 ударов между шайбами. Сколько раз за это время шайбы ударятся о все стенки коробки?
Решение:
Как обычно, рассмотрим "заметаемую" площадь - полосу шириной $2d$, где $d$ - диаметр шайбы (см. рисунок). Если центр другой шайбы попадет в эту полосу, произойдет удар.
Для числа ударов $N_{1} = 10^{3}$ время $\tau$ найдем из условия
$v_{0} \tau \cdot 2d = N_{1}a^{2}$,
где $a = 1 м$ - сторона квадратного дна коробки, откуда
$\tau = \frac{N_{1}a^{2} }{2dv_{0} } = \frac{10^{3} \cdot 1 м^{2}}{2 \cdot 0,02 м \cdot 1 м/с} = 2,5 \cdot 10^{4} с$.
Число ударов об одну из стенок за это время составит
$\frac{1}{4} N_{2} = \frac{ \frac{v_{0} }{ \sqrt{2} } \tau }{2a} = \frac{v_{0} }{2 \sqrt{2} a } \frac{N_{1}a^{2} }{2dv_{0} } = N_{1} \frac{a}{4 \sqrt{2} d }$,
а число ударов о все стенки будет равно
$N_{2} = N_{1} \frac{a}{ \sqrt{2}d } \approx 35N_{1} = 3,5 \cdot 10^{5}$.
При расчете соударений мы не учли движения второй шайбы, но для грубой оценки это вполне допустимо.