2020-02-16
На тонкой легкой нити к потолку подвешен маленький шарик массой $M$; период малых колебаний получившегося маятника равен $T_{0}$. Шарик отводят в сторону и толчком придают ему начальную скорость - такую, что он описывает окружность, лежащую в горизонтальной плоскости. Каким может быть время одного оборота, если нить выдерживает натяжение не более $10Mg$?
Решение:
Радиус окружности, по которой движется шар, равен $R = l \sin \alpha$, где $l$ - длина нити (см. рисунок). Запишем уравнения движения шарика по вертикали:
$F \cos \alpha - mg = 0$
и по горизонтали:
$F \sin \alpha = m \omega^{2}R = m \omega^{2} l \sin \alpha$, или $\omega^{2} = \frac{F}{ml}$.
Период обращения равен
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{ml}{F} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } \sqrt{ \frac{mg}{F} }$.
Если угол взять малым, то
$F = mg$ и $T_{1} = T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$.
В предельном случае, когда $F = 10mg$, мы получим
$T_{2} = \frac{T_{0} }{ \sqrt{10} }$.
Итак,
$\frac{T_{0}}{ \sqrt{10} } \leq T \leq T_{0}$.