2020-02-16
ролик бежит по прямой с постоянной скоростью $v_{1}$, за ним по плоскости гонится лиса. Скорость лисы $v_{2}$ постоянна по величине и все время направлена в ту точку, где находится в данным момент кролик. В некоторым момент расстояние между участниками забега составляет $L$, а угол между векторами их скоростей равен $\alpha$. Найдите ускорение лисы, в этот момент.
Решение:
Скорость лисы по модулю не меняется, ее ускорение связано с поворотом вектора $\vec{v}_{2}$. Найдем угол поворота $\delta$ (см. рисунок) за очень малый интервал времени $\tau$: расстояние КЛ уменьшается до $К_{1}Л_{1} = L - (v_{2} - v_{1} \cos \alpha ) \tau$. По теореме синусов,
$\frac{КК_{1}}{ \sin \delta } = \frac{К_{1}Л_{1}}{ \sin ( 180^{ \circ} - \alpha )}$, или $\frac{L - (v_{2} - v_{1} \cos \alpha ) \tau }{ \sin \alpha } = \frac{v_{1} \tau }{ \sin \delta }$.
Отсюда находим угол поворота:
$\sin \delta = \frac{v_{1} \tau \sin \alpha}{L - (v_{2} - v_{1} \cos \alpha ) \tau }$
и ускорение лисы:
$a = \frac{v_{2} \delta}{ \tau} = \frac{v_{2} \sin \delta}{ \tau} = \frac{v_{1}v_{2} \sin \alpha }{L - (v_{2} - v_{1} \cos \alpha ) \tau } = \frac{v_{1}v_{2} \sin \alpha }{L}$.