2020-02-16
Батарейку напряжением $U = 6 В$ с малым внутренним сопротивлением подключают к цепи, изображенной на рисунке. Конденсаторы имеют одинаковые емкости $C = 100 мкФ$, резисторы также одинаковые, сопротивлением $R = 10 кОм$ каждый. Какой полный заряд протечет через "горизонтальный" резистор? Какое количество теплоты в нем выделится?
Решение:
Найдем потенциал точки соединения конденсаторов $\phi_{1}$ как функцию заряда $q$, протекшего через "горизонтальный" резистор (рис.):
$C \phi_{1} + C( \phi_{1} - U) = -q$,
откуда
$\phi_{1} = \frac{U}{2} - \frac{q}{2C}$.
Теперь найдем потенциал точки соединения всех резисторов $\phi_{2}$ в тот же момент (рис.):
$\frac{ \phi_{1} - \phi_{2}}{R} + \frac{U - \phi_{2}}{R} = \frac{ \phi_{2}}{0,5R}$,
откуда
$\phi_{2} = \frac{1}{4} \phi_{1} + \frac{1}{4}U$.
Разность потенциалов между этими точками равна
$\Delta \phi = \phi_{1} - \phi_{2} = \frac{3}{4} \phi_{1} - \frac{1}{4}U = \frac{1}{8}U - \frac{3}{8} \frac{q}{C}$.
Для того чтобы эта разность потенциалов упала до нуля, через "горизонтальный" резистор должен протечь заряд
$Q = \frac{CU}{3} = 2 \cdot 10^{-4} Кл$.
Построим график зависимости $\Delta \phi$ от $q$ (рис.). Площадь под этим графиком - это количество теплоты, выделившееся в резисторе:
$W = \frac{1}{2} \frac{U}{8} \frac{CU}{3} = \frac{CU^{2}}{48} = 7,5 \cdot 10^{-5} Дж$.