2020-02-16
Источник света, имеющий очень маленькие размеры, движется вдоль главной оптической оси собирающей линзы с постоянной скоростью $v$, а линза движется навстречу ему с неизменной скоростью $2v$. В некоторый момент скорость изображения оказалась по величине равной $v$ (все три скорости заданы относительно неподвижной системы отсчета). Найдите увеличение, которое дает линза в этот момент. С каким ускорением движется в этот момент изображение? Изображение получают на экране, расположенном перпендикулярно главной оптической оси линзы, фокусное расстояние линзы $F$.
Решение:
Речь идет об изображении на экране - задача при этом упрощается, не нужно рассматривать случаи мнимых изображений. Ясно, что стоит "пересесть на линзу": в этом случае источник движется со скоростью $3v$ в сторону линзу, а скорость изображения либо равна $3v$ и направлена в сторону от линзы, либо равна $v$ - в зависимости от исходного направления движения.
В первом случае, очевидно, что расстояние от источника до линзы в интересующий нас момент составляет $2F$, размер изображения равен размеру источника, т.е. увеличение линзы равно
$\Gamma = -1$.
Во втором случае придется немного посчитать. Из формулы линзы
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$
следует, что
$\frac{-d^{ \prime}}{d^{2} } = \frac{f^{ \prime}}{f^{2} }$,
где "штрихом" обозначена производная по времени. Расстояние от линзы до источника отсчитывается в противоположную сторону, значит, $d^{ \prime} = -3v$. Если скорость изображения равна $v$, то $f = \frac{d}{ \sqrt{3}}$, и увеличение в этом случае равно
$\Gamma = - \frac{1}{ \sqrt{3} }$.
(Кстати, и первый случай с равными скоростями можно было анализировать при помощи полученной формулы, но там было легко догадаться и так.)
Для расчета ускорения запишем в удобном виде выражение для $f$:
$f = \frac{dF}{d - F} = F + \frac{F^{2} }{d - F}$.
Первая производная по времени равна
$f^{ \prime} = - \frac{F^{2} d^{ \prime}}{(d - F)^{2} }$
(можно было использовать эту формулу и в первой части решения!). Вторая производная по времени дает
$f^{ \prime \prime} = - \frac{2F^{2}d^{ \prime 2}}{(d - F)^{3} }$
- мы учли, что ускорение источника равно нулю. Для первого случая (скорость изображения равна $3v$) получим ускорение изображения
$f^{ \prime \prime} = - \frac{18v^{2} }{F}$,
для второго случая -
$f^{ \prime \prime} = - \frac{2 \sqrt{3} v^{2} }{F}$.
Система отсчета, в которую мы пересели, инерциальная - ускорения в ней такие же, как и в исходной.