2020-02-16
К источнику переменного напряжения (звуковой генератор) подключена последовательная цепь, состоящая из катушки индуктивностью $L = 1 Гн$, конденсатора ёмкостью $C = 1 мкФ$ и резистора сопротивлением $R$. Будем увеличивать частоту напряжения источника, сохраняя неизменной его амплитуду. При каких условиях напряжение, измеренное идеальным вольтметром на выводах конденсатора, будет при увеличении частоты вначале увеличиваться, а затем уменьшаться? На какой частоте напряжение конденсатора окажется максимальным при $R = 100 Ом$?
Решение:
При малых величинах $R$ будет явно выраженный резонанс, при больших сопротивлениях получится монотонная частотная характеристика. Сделаем расчет.
Амплитуда тока в цепи равна
$I = \frac{U}{ \sqrt{ \left ( \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )^{2} + R^{2} } }$
а амплитуда напряжения на конденсаторе составляет
$U_{C} = \frac{I}{ \omega C} = \frac{U}{ \sqrt{ ( \omega^{2}LC - 1)^{2} + R^{2} \omega^{2}C^{2} } }$.
Исследуем полученное выражение. Максимум получится, если знаменатель имеет минимум в диапазоне частот. Можно исследовать и квадрат знаменателя -возьмем производную по частоте $\omega$ и приравняем ее нулю:
$(L^{2}C^{2} \omega^{4} + \omega^{2} (R^{2}C^{2} - 2LC) + 1)^{ \prime} = 4L^{2}C^{2} \omega^{3} + 2 \omega (R^{2}C^{2} - 2LC ) = 0$,
откуда
$\omega^{2} = \frac{2LC - R^{2}C^{2}}{2L^{2}C^{2} }$.
Видно, что при $R > \sqrt{ \frac{2L}{C}} \approx 1,4 кОм$ максимума для напряжения на конденсаторе не получается.
Для малого сопротивления 100 Ом из выведенной формулы получится частота $\omega_{1} = 997,5 c^{-1}$ - чуть ниже "чистой" резонансной частоты $\omega_{0} = 1000 c^{-1}$.