2020-02-16
В одной плоскости с длинным прямым проводом закреплено маленькое сверхпроводящее кольцо из очень тонкого провода. Диаметр кольца $d = 1 см$, центр кольца находится на расстоянии $H = 1 м$ от провода, индуктивность кольца $L = 10 мкГн$. По проводу пропускают электрический ток - сила тока быстро возрастает от нуля до $I = 10 А$. Какой установившийся ток потечет по кольцу? Какая сила при этом будет действовать на кольцо?
Решение:
Магнитная индукция поля длинного прямого провода с током $I$ на расстоянии $x$ от него равна
$B = \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi x}$.
Кольцо маленькое - по сравнению с расстоянием $H$ от провода, для расчета магнитного потока будем считать поле однородным в пределах кольца. Контур сверхпроводящий, поэтому полный магнитный поток через него должен остаться нулевым. Тогда получим
$LI_{к} = \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi H} \frac{ \pi d^{2} }{4}$.
Отсюда найдем установившийся ток в кольце:
$I_{к} = \frac{ \mu_{0}Id^{2} }{8HL} \approx 1,5 \cdot 10^{-5} А$.
Для расчета силы, действующей на кольцо, поле уже нельзя считать однородным - в этом случае сила получилась бы точно равной нулю. Удобно взять малые диаметрально противоположные кусочки кольца (см. рисунок) - проекции сил на направление вдоль провода нас не интересуют, понятно, что в сумме они дадут ноль. В проекции на перпендикулярное к проводу направление получим
$dF_{1} = B_{1}I_{к} Rd \phi, dF_{2} = B_{2}I_{к} Rd \phi$,
$(dF_{1} - dF_{2}) \cos \phi = \mu_{0}II_{к} R \cos \phi d \phi \left ( \frac{1}{2 \pi (H - R \cos \phi ) } - \frac{1}{2 \pi (H + R \cos \phi ) } \right ) = \frac{ \mu_{0}II_{к}R^{2} \cos^{2} \phi d \phi }{ \pi (H^{2} - R^{2} \cos^{2} \phi ) }$.
Учтем, что радиус кольца $R$ намного меньше $H$, и упростим выражение:
$(dF_{1} - dF_{2} ) \cos \phi \approx \frac{ \mu_{0}II_{к}R^{2} \cos^{2} \phi d \phi }{ \pi H^{2} }$.
Нужно просуммировать полученные силы по всем частям окружности, тогда полная сила будет
$F = \frac{ \mu_{0} II_{к}R^{2} }{ \pi H^{2} } \int \cos^{2} \phi d \phi = \frac{ \mu_{0}II_{к}R^{2} }{2H^{2} } = \frac{ \mu_{0}^{2}I^{2}d^{4} }{64 H^{3}L } = 2,5 \cdot 10^{-15} Н$.