2020-02-16
В изображенной на рисунке цепи конденсаторы одинаковы, емкость каждого $C = 100 мкФ$, резистор имеет сопротивление $R = 100 кОм$, батарейка с ЭДС $\mathcal{E} = 10 B$ обладает внутренним сопротивлением $r = 1 Ом$. Цепь замыкают. Какой ток течет по резистору через время $\tau = 0,1 с$ после включения, и какой ток в этот же момент течет через батарейку? Какое количество теплоты выделится в резисторе за большое время?
Решение:
После замыкания цепи конденсаторы быстро заряжаются, а ток через резистор очень мал. Действительно, токи заряда в самом начале определяются маленьким внутренним сопротивлением батарейки: "характерное время заряда" равно произведению общей емкости, можно примерно взять ее равной $C$, и сопротивления $r$ - получится $rC = 10^{-4} c$, что намного меньше 0,1 с, заданных в условии задачи. С другой стороны, $RC = 10^{5} \cdot 10^{-4} с = 10 с$ - это намного больше заданного интервала 0,1 с.
Сделаем расчет - используем метод узловых потенциалов (рис.). Пусть через резистор протек заряд $q$, потенциалы узлов обозначим $v$ и $u$, потенциал верхней точки $V$ - можно считать, что при малом внутреннем сопротивлении и малом токе батарейки $V = 10 В$. Если через резистор протек заряд $q$, то суммарный заряд обкладок, потенциал которых обозначен $u$, равен $q$:
$C(v - u) + Cu = q$.
Суммарный заряд обкладок с потенциалом $v$ все время равен нулю:
$Cv + C(v - u) + C(v - V) = 0$.
Из этих уравнений получаем
$u = \frac{V}{5} + \frac{3q}{5C}, v = \frac{2V}{5} + \frac{q}{5C}$.
Видно, что при $q = 0$ - за время 0,1 с заряд через резистор практически "не прошел" - потенциал нижнего конца резистора составляет $0,2 V = 2 В$, верхний вывод резистора имеет потенциал $V = 10 В$. Поэтому ток через резистор в интересующий нас момент равен
$I_{R} = \frac{0,8V}{R} = 0,08 мА$.
За время прохождения заряда $q$ через резистор суммарный заряд двух нижних конденсаторов увеличился на $\left ( \frac{3q}{5C} + \frac{q}{5C} \right ) = 0,8q$. Ясно, что через батарейку протек именно этот заряд. Он получился меньше заряда $q$ - верхний конденсатор немного разрядился, часть его заряда прошла через батарейку "назад". Значит, ток через батарейку равен
$I_{б} = 0,8 I_{R} = 0,064 мА$.
Для расчета количества теплоты, которое выделится в резисторе, запишем разность потенциалов на нем как функцию протекшего через него заряда:
$\Delta \phi = 0,8V - \frac{0,6q}{C}$.
Видно, что это линейная зависимость. Полный протекший за большое время заряд $Q$ обращает разность потенциалов в ноль, откуда получаем
$Q = \frac{4CV}{3}$.
Таким образом, выделившееся в резисторе количество Нужно просуммировать полученные силы по всем теплоты равно
$W = \frac{1}{2} \Delta \phi_{нач}Q = \frac{1}{2} \cdot 0,8V \cdot \frac{4CV}{3} = \frac{8}{15}CV^{2} \approx 5 мДж$.