2020-02-16
Медная тонкостенная сфера радиусом $R$ заряжена, полный заряд сферы $Q$. На расстоянии $R/3$ от центра сферы находится точечный заряд $q$, а на расстоянии $3R$ от центра сферы помещен точечный заряд $2q$. Найдите потенциалы центра сферы и самой сферы. Какой заряд протечет по тонкому проводу, если этим проводом сферу заземлить?
Решение:
Найти потенциал центра сферы совсем просто - его создают два точечных заряда $q$ и $2q$ и заряд $Q$, "размазанный" по сфере:
$\phi_{ц} = k \frac{q}{R/3} + k \frac{2q}{3R} + k \frac{Q}{R}$.
Потенциал самой сферы найти чуть труднее, придется немного порассуждать. Действительно, на внутренней стороне сферы собирается заряд $-q$, силовые линии от внутреннего заряда $q$ заканчиваются на внутренней поверхности сферы, заряд наружной поверхности сферы теперь равен $Q + q$. Если мы уберем заряды $q$ и $-q$ внутри сферы, поле снаружи не изменится, не изменится и потенциал сферы. А посчитать его будет совсем просто - теперь внутри сферы поля нет, мы можем сделать расчет для любой внутренней точки, но удобно взять центр. Тогда потенциал сферы будет
$\phi_{сф} = k \frac{2q}{3R} + k \frac{Q + q}{R}$.
Если мы заземлим сферу, ее потенциал станет равным нулю, так что рассчитать "утекший" заряд $Q_{x}$ совсем просто:
$0 = k \frac{2q}{3R} + k \frac{Q + q - Q_{x} }{R}$,
откуда
$Q_{x} = Q + \frac{5}{3} q$.