2020-02-16
Средняя квадратичная скорость молекул воздуха в комнате 500 м/с, длина свободного пробега 0,01 мм. В данный момент выбранная для наблюдения молекула находится посредине квадратной комнаты площадью 25 $м^{2}$. Оцените среднее время, необходимое для ее путешествия до одной из стен.
Решение:
Если бы частица не меняла направления движения при ударах о другие частицы, она добралась бы до стенки совсем быстро - за время
$t = \frac{L}{v} = \frac{5 м}{500 м/с} = 0,01 c$.
(Мы взяли "среднее" расстояние до стенки - при площади комнаты 25 квадратных метров расстояние от центра комнаты до ближайшей точки стены 2,5 м, до угла, т.е. до самой удаленной точки этой стены, больше 8,5 м, возьмем для грубой оценки 5 м.)
Подсчитаем теперь, сколько нужно времени для пролета (вернее - проползания) этого расстояния с учетом соударений частиц. Для этого посмотрим, как добавляется к уже пройденному пути $L_{n}$ очередной "кусочек" $d = 0,01 мм$ - длина свободного пробега. Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения расстояния $L_{n+1}$ от начальной точки путешествия до точки расположения частицы после прохождения $(n + 1)$ участка длиной $d$ каждый:
$L_{n+1}^{2} = L_{n}^{2} + d^{2} - 2L_{n}d \cos \phi$,
где $\phi$ - угол между перемещением $\bar{L}_{n}$ до прибавления очередного участка и новым отрезком длиной $d$. Угол $\phi$ может быть любым в пределах от 0 до $180^{ \circ}$, среднее значение косинуса этого угла получается нулевым - это вполне очевидно, хотя и не очень просто доказать. (Статья, в которой этот вопрос разобран, опубликована примерно 100 лет назад. Попробуйте сами найти автора этой работы по учебникам или справочникам - гарантирую, что получите удовольствие...)
Будем считать, что
$L_{n+1}^{2} = L_{n}^{2} + d^{2}$,
тогда
$L_{n}^{2} = nd^{2}$.
Отсюда число ударов при прохождении длинного пути $L$ будет равно $n = \frac{L^{2}}{d^{2}}$, а время путешествия составит
$T = \frac{nd}{v} = \frac{L^{2}}{dv} = \frac{(5 м)^{2}}{10^{-5} м \cdot 500 м/с } = 5000 с$.
Учитывая, что длина свободного пробега молекул в воздухе при обычных условиях во много раз меньше, чем 0,01 мм, получаем время путешествия молекулы из центра комнаты до стены просто огромным - на практике даже очень незначительные, практически неощутимые, потоки воздуха, которые всегда происходят в комнате, сокращают время перемешивания в десятки и сотни тысяч раз.