2020-02-16
По гладкому горизонтальному столу может двигаться куб массой $M$ На нем находится другой куб - поменьше, его масса $m$. На кубы действуют горизонтальные силы: $F$ - на нижний и $f$ - на верхний. Силы, эти параллельны, приложены к центрам кубов и направлены в одну сторону. Найдите ускорения кубов. Коэффициент трения между верхним и нижним телами $\mu$. Кубы двигаются поступательно, не вращаясь.
Решение:
Направления сил трения - со стороны верхнего куба на нижний и со стороны нижнего куба на верхний - определяются простым соотношением: если $\frac{F}{M} > \frac{f}{m}$, то верхний куб при отсутствии трения отставал бы от нижнего; значит, на него сила трения действует "вперед" - в сторону силы $f$, а на большой куб действует сила трения, направленная назад. В этом случае при достаточно большом коэффициенте трения кубы едут вместе с ускорением
$a = \frac{F + f}{M + m}$.
Условие совместного движения кубов: $\mu > \mu_{1}$, где $\mu_{1}$ - "граничное" значение коэффициента трения, определяется условием
$\frac{F - \mu_{1}mg}{M} = \frac{f + \mu_{1}mg}{m}$,
откуда находим
$\mu_{1} = \frac{Fm - fM}{mg(M + m) }$.
Если коэффициент трения меньше этого "граничного" значения, то ускорения кубов находятся совсем просто: нижний куб движется с ускорением
$a_{M} = \frac{F - \mu_{1}mg }{M}$,
верхний - с ускорением
$a_{m} = \frac{f + \mu_{1}mg }{m}$,
Если же $\frac{F}{M} < \frac{f}{m}$, то верхний куб пытается обогнать нижний, направления сил трения меняются на противоположные, ускорение при совместном движении не изменяется, а при недостаточно большом трении ускорения составляют
$a_{M} = \frac{F + \mu_{2}mg}{M}$ и $a_{m} = \frac{f - \mu_{2} mg }{m}$,
при этом "граничное" значение коэффициента трения равно
$\mu_{2} = \frac{fM - Fm}{mg(M + m)}$.