2020-02-16
Камень бросают под углом $\alpha$ к горизонту, придав ему начальную скорость $v_{0}$. Точка падения камня на $H$ ниже точки броска. Вектор скорости камня в полете поворачивается. Найдите максимальное и минимальное значения угловой скорости этого вращения. Земля, как известно, плоская; считайте, что воздуха на ней нет.
Решение:
Полное ускорение летящего камня все время направлено вниз и равно $g$. Вектор скорости $\vec{v}$ увеличивается по модулю за счет касательной проекции ускорения $a_{t}$, а поворачивает его нормальная составляющая ускорения $a_{n}$. При этом за малый интервал времени $\tau$ угол поворота составляет $\Delta \phi = \frac{a_{n} \tau}{v}$ и угловая скорость вращения равна $\omega = \frac{ \Delta \phi}{ \tau} = \frac{a_{n}}{v}$. Обозначим угол между вертикалью и направлением вектора скорости через $\beta$. Горизонтальная составляющая вектора скорости все время одна и та же, тогда $\sin \beta = \frac{v_{0} \cos \alpha }{v}$ и нормальная составляющая ускорения равна $a_{n} = g \sin \beta = \frac{gv_{0} \cos \alpha}{v}$. Значит, угловая скорость вращения вектора скорости составляет
$\omega = \frac{a_{n} }{v} = \frac{gv_{0} \cos \alpha }{v^{2} }$.
Максимальная величина этой угловой скорости получается в верхней точке траектории, где скорость тела минимальна - там есть только ее горизонтальная составляющая:
$\omega_{max} = \frac{g}{v_{0} \cos \alpha }$.
Минимальное значение угловой скорости получится в самой нижней точке траектории, где квадрат полной скорости максимален и составляет $v^{2} = v_{0}^{2} + 2gH$, при этом
$\omega_{min} = \frac{gv_{0} \cos \alpha }{v_{0}^{2} + 2gH }$.