2020-02-14
На высоте $h$ от горизонтальной плоскости находится тонкое непроводящее кольцо массой $m$ и радиусом $R$, по которому равномерно распределен заряд $q$. В момент времени $t = 0$ кольцо начинает падать без начальной скорости, сохраняя в полете горизонтальное положение. Одновременно с началом падения кольца включается магнитное поле, ось симметрии которого совпадает с осью кольца. Вблизи кольца магнитное поле однородно, направлено вертикально, а его индукция нарастает по закону $B = kt^{2}$, где $k$ - постоянная величина. Упав на плоскость, кольцо быстро останавливается и прилипает к ней. Найдите количество теплоты, которое при этом выделится в данной системе. Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
При падении кольца поток вектора магнитной индукции через него будет изменяться, вследствие чего возникнет вихревое электрическое поле, силовые линии которого лежат в плоскости кольца. Это поле будет действовать на распределенный по кольцу заряд, и кольцо будет раскручиваться.
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении потока $\Phi = BS$ через кольцо площадью $S = \pi R^{2}$ возникает ЭДС индукции
$\mathcal{E} = - \frac{ \Delta \Phi }{ \Delta t} = - \pi R^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.
При этом напряженность вихревого электрического поля, которое действует на заряды кольца, равна
$E = \frac{ \mathcal{E}}{2 \pi R} = - \frac{R}{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.
Следовательно, раскручивающая кольцо сила равна
$F = qE = - \frac{qR}{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$,
а сообщаемое ею кольцу угловое ускорение по модулю равно
$\frac{| \Delta \omega |}{ \Delta t} = \frac{|F|}{mR} = \frac{q}{2m} \frac{|AB|}{ \Delta t}$,
где $\Delta \omega$ - приращение угловой скорости кольца за малое время $\Delta t$. Из последней формулы следует, что
$\Delta \omega = \frac{q}{2m} \Delta B$,
поскольку и угловая скорость кольца $\omega$, и величина индукции магнитного поля $B$ возрастают со временем. Кольцо коснется плоскости через время $\tau = \sqrt{ \frac{2h}{g}}$ после начала падения. За это время оно приобретет угловую скорость
$\omega ( \tau ) = \frac{q}{2m} B( \tau ) = \frac{q}{2m} k \tau^{2} = \frac{kqh}{mg}$.
Так как по условию задачи кольцо, упав на плоскость, быстро останавливается и прилипает к ней, то вся приобретенная кольцом за время падения кинетическая энергия перейдет в тепло (поскольку время торможения кольца очень мало, можно пренебречь работой, которую совершают за это время над кольцом силы, действующие со стороны вихревого поля). Значит,
$Q = mgh + \frac{m \omega^{2} ( \tau )R^{2} }{2} = mgh + \frac{m}{2} \left ( \frac{kqhR}{mg} \right )^{2} = mgh + \frac{k^{2}q^{2}h^{2}R^{2} }{2mg^{2} } = mgh \left ( 1 + \frac{k^{2}q^{2}R^{2}h }{2m^{2}g^{3} } \right )$.
Замечание. При решении этой задачи можно пренебречь магнитным полем, создаваемым вращающимся заряженным кольцом, и вкладом этого поля в полный магнитный поток, пронизывающий кольцо. Такое приближение обычно используется при решении ряда аналогичных задач, например о падении проводящей рамки или о движении перемычки по рельсам в магнитном поле.