2020-02-14
К звуковому генератору подключают последовательно соединенные конденсатор емкостью $C = 1 мкФ$ и катушку индуктивностью $L = 1 Гн$. Частоту генератора меняют, измеряя при этом напряжение на катушке вольтметром, имеющим сопротивление $R = 20 кОм$. На какой частоте показания вольтметра будут наибольшими? Найдите максимальное напряжение, которое покажет вольтметр. Напряжение генератора все время равно $U_{0} = 1 В$ (эффективное значение). А что будет, если вольтметр переключить и измерять напряжение на конденсаторе? Катушку и конденсатор считать идеальными, сопротивлением проводов и внутренним сопротивлением генератора пренебречь.
Решение:
Если бы вольтметр имел очень большое сопротивление, то максимальное напряжение (очень большое!) получилось бы при резонансе на частоте
$\omega_{0} = \frac{1}{ \sqrt{LC} } = 1000 c^{-1}$
- там резко возрастает ток цепи.
Нарисуем векторную диаграмму токов и напряжений цепи (см. рисунок). Сумма напряжений конденсатора и катушки равна напряжению источника $U_{0}$:
$(U_{C} \cos \alpha - U)^{2} + (U_{C} \sin \alpha )^{2} = U_{0}^{2}$,
$U_{C}^{2} + U^{2} - 2UU_{C} \cos \alpha = U_{0}^{2}$,
$\left ( \frac{ I_{общ} }{ \omega C} \right )^{2} + U^{2} - 2U \frac{I_{общ} \cos \alpha }{ \omega C} = \frac{ \frac{U^{2} }{ ( \omega L)^{2} } + \frac{U^{2} }{R^{2} } }{ \omega^{2}C^{2} } + U^{2} - 2U^{2} \frac{1}{ \omega^{2}LC } = U_{0}^{2}$,
$U = \frac{U_{0} }{ \sqrt{ \left ( \frac{1}{ \omega^{2}LC } - 1 \right )^{2} + \frac{1}{ \omega^{2}R^{2}C^{2} } } }$.
Применим удобное обозначение
$LC = \frac{1}{ \omega_{0}^{2} }$,
тогда
$U = \frac{U_{0} }{ \sqrt{ \left ( \frac{ \omega_{0}^{2} }{ \omega^{2} } - 1 \right )^{2} + \frac{ \omega_{0}^{2}L }{ \omega^{2}R^{2}C } } }$.
Минимум знаменателя будет при
$\frac{ \omega_{0}^{2}}{ \omega^{2} } = 1 - \frac{L}{2R^{2}C } = 1 - \frac{1}{800}$.
В таком случае
$\omega = 1000,625 c^{-1}$,
$U \approx 20 В$.
Максимальное напряжение, измеренное на конденсаторе, будет таким же, но на частоте чуть меньшей $\omega_{0}$.