2020-02-14
На $pV$ - диаграмме изображен замкнутый процесс (рис.). Кривая - это дуга окружности, прямая вертикальна и соответствует охлаждению газа при постоянном объеме. Считая, что этот процесс проводят с порцией гелия, найдите КПД получившейся тепловой машины. Отношение максимального давления к минимальному в этом цикле равно 5, а минимальный объем составляет 0,9 от максимального.
Решение:
Газ получает тепло на дуге окружности и отдает его на прямой. Для расчета КПД цикла нужно найти площадь, ограниченную сегментом (рис.). Посчитаем эту площадь в "клеточках" - для расчета отношений это вполне допустимо. В наших обозначениях площадь клетки равна $0,2p_{0} \cdot 0,2V_{0}$. Посчитаем радиус дуги:
$(l - 0,5)^{2} + 2^{2} = l^{2}, l^{2} - l + 0,25 + 4 = l^{2}, l = 4,25$
и найдем угол $\alpha$:
$\alpha = arcsin \frac{2}{4,25} \approx 0,49 рад$.
Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника:
$S_{сег} = S_{сек} - S_{тр} = \frac{2 \alpha }{2 \pi } \pi l^{2} - \frac{1}{2} \cdot 4(l - 0,5) = \alpha l^{2} - 2l + 1 \approx 8,85 - 8,5 - 1 \approx 1,35$.
Работа в этом цикле равна
$A = 1,35 \cdot 0,04 p_{0}V_{0}$.
Количество теплоты, полученное от нагревателя, составляет
$Q_{н} = A + \Delta U = A + \nu \frac{3}{2} R (T_{2} - T_{1} ) = A + \frac{3}{2} (p_{0}V_{0} - 0,2p_{0}V_{0} ) = 1,35 \cdot 0,04 p_{0}V_{0} + 1,2p_{0}V_{0} = 1,254p_{0} V_{0}$.
Тогда термодинамический КПД цикла будет равен
$\eta = \frac{Q}{Q_{н} } = \frac{1,35 \cdot 0,04 p_{0}V_{0}}{1,254 p_{0}V_{0} } \approx 0,043 = 4,3$ %