2020-02-14
На тонкий прямой стержень длиной $L = 10 м$ насажены $N = 20$ одинаковых маленьких бусинок, которые могут скользить по нему без трения. Скорости бусинок одинаковы и составляют $v = 2 м/с$, а при столкновениях друг с другом и с концами стержня скорости бусинок меняют направление, оставаясь прежними по величине. В начальным момент половина бусинок едет вправо, половина - влево. Сколько ударов бусинок об упоры стержня произойдет за время $T = 1 ч$? А сколько всего ударов произойдет за это время между бусинками?
Решение:
При ударе друг о друга бусинки не изменяют величину скорости, а только меняют ее направление на противоположное - как будто они пролетают друг сквозь друга. Если до этого додуматься, то движение бусинок станет совсем простым - они просто летают без помех от одного конца стержня к другому и обратно.
Одна бусинка за время $T$ пролетит длину стержня
$\frac{vT}{L} = \frac{2 м/с \cdot 3600 c}{10 м} = 720$ раз.
Ударов всех бусинок о концы стержня будет в $N$ раз больше:
$720 \cdot 20 = 14400$.
(Конечно, точный ответ зависит от начального расположения бусинок, но за час разница получается ничтожной.)
Второй вопрос немного сложнее. Каждая бусинка за время прохождения в одну сторону ударится по разу о каждую из всех остальных бусинок, значит, она ударится о другие бусинки
$\frac{(N - 1)vT}{L}$ раз.
Чтобы учесть все удары бусинок друг о друга, нужно умножить это число на $N$ и разделить пополам - иначе каждый удар бусинок друг о друга мы посчитаем дважды (для одной и для другой). Окончательно получим
$\frac{N (N - 1) vT}{2L} = 136800$ ударов.