2020-02-14
Цепь из катушки индуктивностью $L$ и конденсатора емкостью $C$ используют в качестве фильтра низких частот (рис.). При увеличении частоты генератора начиная с некоторой частоты напряжение на нагрузке уменьшается и при дальнейшем увеличении частоты становится совсем малым. При каком сопротивлении нагрузки $R$ напряжение с увеличением частоты генератора будет меняться монотонно? (Если взять $R$ достаточно большим, то будет явно выражен резонанс -при приближении к собственной частоте $LC$-контура напряжение нагрузки будет резко возрастать, и только потом - на еще больших частотах - будет уменьшаться.)
Решение:
Пусть напряжение источника изменяется по закону $U_{0} \cos \omega t$, а "выходное" напряжение на резисторе сопротивлением $R$ - по закону $U \cos ( \omega t + \phi )$. Нарисуем векторную диаграмму токов и напряжений (рис.), начиная с $U$. Ток через резистор $I_{R} = \frac{U}{R}$ и ток через конденсатор $I_{C} = U \omega C$ сдвинуты по фазе на $90^{ \circ}$, общий ток (через катушку индуктивности) равен
$I_{общ} = \sqrt{I_{R}^{2} + I_{C}^{2} } = U \sqrt{ \frac{1}{R^{2} } + \omega^{2} C^{2} }$.
Тогда напряжение на катушке равно $I_{о6щ} \omega L$, и можно приравнять сумму напряжений катушки и конденсатора с резистором "входному" напряжению $U_{0}$ - разумеется, с учетом сдвига фаз между суммируемыми напряжениями:
$U_{0}^{2} = (I_{общ} \omega L )^{2} + U^{2} - 2UI_{общ} \omega L \cos \alpha = U^{2} \left ( \frac{ \omega^{2}L^{2} }{R^{2} } + \omega^{4} L^{2}C^{2} + 1 - 2 \omega^{2} LC \right )$,
$U = \frac{U_{0} }{ \sqrt{ 1 + \omega^{2} \left ( \frac{L^{2} }{R^{2} } - 2LC \right ) + \omega^{4} L^{2}C^{2} } }$.
Для того чтобы зависимость $U$ от частоты была монотонно убывающей, нужно, чтобы функция под корнем в знаменателе возрастала монотонно с увеличением $\omega$. Можно, конечно, взять производную и заняться вычислениями. Но можно и сразу получить ответ: под корнем в знаменателе стоит обычная квадратичная функция относительно $x = \omega^{2}$, чтобы у нее не было экстремума при $x \geq 0$, нужно иметь положительный коэффициент при $\omega^{2}$:
$\frac{L^{2}}{R^{2} } - 2LC > 0$, или $R < \sqrt{ \frac{L}{2C} }$.