2020-02-14
Три большие параллельные пластины площадью $S = 2 м^{2}$ каждая расположены в вакууме на одинаковых малых расстояниях $d = 1 мм$ друг от друга. Заряд средней пластины $Q = 1 мкКл$, заряды двух других $Q$ и $-2Q$. Между крайними пластинами включают резистор сопротивлением $R_{1} = 30 кОм$, одновременно с ним еще один резистор сопротивлением $R_{2} = 20 кОм$ включают между средней пластиной и пластиной с зарядом $-2Q$. Какое количество теплоты выделится при этом в первом резисторе?
Решение:
Найдем напряженности полей $E_{1}$ и $E_{2}$ до подключения резисторов (см. рисунок):
$E_{1} = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S }, E_{2} = \frac{2Q}{ \epsilon_{0}S } = 2E_{1}$.
Разность потенциалов между средней и правой пластинами равна
$\Delta \phi_{2} = E_{2}d = \frac{2Qd}{ \epsilon_{0}S }$,
а между крайними пластинами -
$\Delta \phi_{1} = E_{1}d + \Delta \phi_{2} = \frac{3Qd}{ \epsilon_{0}S } = 1,5 \Delta \phi_{2}$.
Теперь видно, что сопротивления резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$ подобраны специально (точнее, их отношение: $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{ \Delta \phi_{1}}{ \Delta \phi_{2} }$ ), токи через них получаются одинаковыми, и все соотношения между зарядами (и полями) после подключения резисторов остаются прежними.
Через резистор сопротивлением $R_{1}$ за большое время пройдет весь заряд $Q$ первой пластины. Разность потенциалов между выводами этого резистора с течением времени убывает, зависимость $\Delta \phi$ от времени нелинейная, но от величины протекшего по резистору заряда $q$ - линейная:
$\Delta \phi = \frac{3 (Q - q) d}{ \epsilon_{0}S}$.
В этом случае количество теплоты, выделившееся на резисторе, можно найти так:
$W_{1} = \Delta \phi_{ср} Q = \frac{ \Delta \phi_{нач} }{2} Q = \frac{ \Delta \phi_{1} }{2} Q = \frac{3Q^{2}d}{2 \epsilon_{0}S } = 1,5 \frac{Q^{2}}{C}$,
где $C$ - емкость конденсатора, образованного соседними пластинами. Поскольку $C = \frac{ \epsilon_{0}S }{d} \approx 1,77 \cdot 10^{-8} Ф$, то $W_{1} \approx 85 мкДж$.