2020-02-14
В вакууме находятся два массивных одинаковых тела, их температуры вначале равны $T$ и $3T$. Если привести тела в соприкосновение, то при выравнивании температур от горячего тела к холодному перетечет количество теплоты $Q$. Какую максимальную работу можно было бы получить, используя эти тела и тепловую машину? Других тел в нашем распоряжении нет.
Решение:
Будем считать, что наша тепловая машина идеальная и совершает очень большое число циклов для получения результата. В этом случае можно использовать известное выражение для КПД цикла
$\eta = 1 - \frac{T_{х} }{T_{н} }$.
Однако по мере совершения работы в нашей системе температуры тел (нагревателя и холодильника) меняются, меняется и КПД - от начального значения $\eta_{0} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ до нуля. Взять "средний" КПД - это просто, но неправильно. Поступим иначе.
Пусть за очередной цикл нагреватель отдает порцию количества теплоты $Q$, тогда холодильник получит количество теплоты $Q (1 - \eta ) = Q \frac{T_{х} }{T_{н} }$. Температура нагревателя изменится на $\Delta T_{н}$, а температура холодильника - на $\Delta T_{х} = - \Delta T_{н} \frac{T_{х} }{T_{н} } $ (теплоемкости тел по условию задачи одинаковы). Тогда $\frac{ \Delta T_{н} }{T_{н} } = - \frac{ \Delta T_{х} }{ T_{х} }$, откуда следует, что
$T_{н}T_{х} = const$
(можно получить это "математически", а можно и просто сообразить, что если один из сомножителей увеличить во сколько-то раз, или на некоторое число процентов, а второй уменьшить во столько же раз, то произведение останется тем же). Это означает, что температуру равновесия $T_{р}$ (окончательную) можно найти из соотношения
$T_{р}^{2} = 3T \cdot T = 3T^{2}$, или $T_{р} = T \sqrt{З}$.
Обозначим теплоемкость одного тела $C$ и запишем выражение для работы:
$A = Q_{н} - Q_{х} = C(3T - T_{р}) - C(T_{р} - T) = CT(4 - 2 \sqrt{3})$.
Но при соприкосновении тел горячее остывает от $3T$ до $2T$, т.е. $Q = CT$. Окончательно,
$A = Q (4 - 2 \sqrt{3}) \approx 0,54Q$.
Если, все же, взять $\eta = \eta_{ср} = \frac{1}{3}$, то результирующая температура $T_{р}^{*}$ определится из условия
$- \Delta T_{н} = \frac{3}{2} \Delta T_{х}, 3T - T_{р}^{*} = 1,5 (T_{р}^{*} - T), T_{р}^{*} = 1,8T$,
и тогда
$A = C(3T - 1,8T) - C(1,8T - T) = Q (1,2 - 0,8) = 0,4Q$.
Видим, что ответ довольно сильно отличается от полученного аккуратным расчетом.