2020-02-14
В фокусе большого параболического отражателя находится точечный источник радиоволн частотой $f = 1000 МГц$, диаметр параболического отражателя $D = 6 м$. Из-за дифракции система излучает расходящийся пучок волн. Насколько нужно отодвинуть источник вдоль оси параболоида, чтобы/, расходимость пучка увеличилась примерно в три раза?
Решение:
Пусть парабола (параболоид в разрезе) описывается выражением $y = Ax^{2}$ (см. рисунок). Рассмотрим луч, падающий в точку $x_{1}$. Наклон параболы в этой точке (он нам нужен для определения угла падения луча) определится производной:
$\frac{ \Delta y}{ \Delta x} = 2Ax_{1} = tg \alpha$.
Найдем теперь положение точки $y_{0}$:
$y_{0} = y_{1} - x_{1} tg (2 \alpha - 90^{ \circ} ) = Ax_{1}^{2} - x_{1} ctg 2 \alpha = Ax_{1}^{2} - x_{1} \frac{1 - tg^{2} \alpha }{2 tg \alpha} = Ax_{1}^{2} - x_{1} \frac{1 - (2Ax_{1} )^{2} }{4Ax_{1} } = \frac{1}{4A} = F$.
Видно, что все лучи, идущие параллельно главной оси параболоида, сходятся в точку $F$ (фокус), и ясно, - где он находится. Вообще-то, нам нужно излучать радиоволны, а не принимать, но обратимость лучей позволяет нам выбрать любой из этих случаев.
Итак, пусть луч падает в ту же точку параболоида, но под малым углом $\delta$ к его оси. Найдем положение точки $y_{2}$, точнее - длину отрезка $y_{0}y_{2}$:
$\Delta = y_{0} - y_{2} = x_{1} tg (2 \alpha - 90^{ \circ} ) - x_{1} tg (2 \alpha - 90^{ \circ} + \delta ) = x_{1} (ctg 2 \alpha - ctg (2 \alpha + \delta ) ) \approx \frac{x_{1} \delta }{ \sin^{2} 2 \alpha }$
(для нахождения малого приращения функции мы использовали производную). Видно, что при падении луча под данным углом $\delta$ в разные точки параболоида мы получаем различные значения смещения $\Delta$. Нам нужно найти такое место падения луча, чтобы сделать $\Delta$ наименьшим для данного угла $\delta$. Это и будет смещение источника радиоволн относительно фокуса параболоида, обеспечивающего данный угол расхождения пучка. Выразим величину $\Delta$ через угол $\alpha$:
$2Ax_{1} = tg \alpha, x_{1} = \frac{tg \alpha}{2A }$,
$\Delta = \frac{tg \alpha}{2A} \delta \frac{1}{4 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha } = \frac{ \delta }{8A \sin \alpha \cos^{3} \alpha }$.
Найдем максимальное значение знаменателя:
$( \sin \alpha \cos^{3} \alpha )_{ \alpha }^{ \prime} = \cos^{4} \alpha - 3 \cos^{2} \alpha sin^{2} \alpha = \cos^{2} \alpha ( \cos^{2} \alpha - 3 \sin^{2} \alpha ) = 0$,
откуда, ясно, что $tg \alpha = \frac{1}{ \sqrt{3} }$. Таким образом, самое большое расхождение пучка получится при отражении от точки, где $\alpha = 30^{ \circ}$:
$\Delta = \frac{ \delta }{8A \cdot 0,5 \cdot \left ( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right )^{2} } = \delta \frac{1}{4A} \frac{8}{3 \sqrt{3} } = \delta F \frac{8}{3 \sqrt{3} }$.
Определим теперь угол $\delta$: дифракционное расхождение пучка, исходящего из фокуса параболоида, составляет $\delta_{0} \approx \frac{ \lambda }{D} = \frac{0,3}{6} = \frac{1}{20}$ радиана (для круглого отверстия в экране угол немного другой: $\delta^{*} \approx \frac{1,22 \lambda }{D}$, но нам достаточно и грубой оценки). Тогда $\delta = 2 \delta_{0} \approx 0,1$, и смещение $\Delta = 0,1F \frac{8}{3 \sqrt{3} } \approx 0,15F$.
Итак, особенно точной установки излучателя в фокус антенны не потребуется.