2020-02-14
Одинаковые конденсаторы, емкостью $C$ каждым соединяют последовательно, а крайние выводы получившейся цепочки подключают к зажимам последовательно соединенных батареек напряжением $U$ слева и $2U$ справа (рис.). Немного подождав, между точками А и Б включают катушку индуктивностью $L$. Найдите максимальное значение силы тока через катушку. Найдите также максимальные заряды конденсаторов. Сопротивление проводов считать малыш (но не нулевым!). Батарейки, конденсаторы и катушку считать идеальными.
Решение:
При подключении конденсаторов к батарейкам произойдет быстрый процесс - в результате заряды конденсаторов установятся до $q_{0} = 0,5CU$, в цепи выделится некоторое количество теплоты (в сопротивлении проводов, его можно посчитать, но для решения этой задачи это не нужно). После подключения катушки заряды конденсаторов будут меняться, но сумма их напряжений останется неизменной - значит, дополнительные заряды будут одинаковы, мы их обозначим $Q$ (рис.). Токи в цепи теперь ограниченные (не такие большие, как при начальном этапе), и можно пренебречь тепловыми потерями за первый период колебаний (все интересное произойдет за этот период!). Работа батареек равна
$A_{1} + A_{2} = QU + Q \cdot 2U = 3QU$.
Начальная энергия была
$W_{н} = 2 \frac{q_{0}^{2} }{2C}$.
Обозначим ток катушки $I$, тогда, в соответствии с законом сохранения энергии, можно записать
$W_{} + A_{1} + A_{2} = \frac{(-0,5CU + Q)^{2} }{2C} + \frac{(0,5CU + Q)^{2} }{2C} + \frac{LI^{2} }{2}$.
Теперь найдем максимальный ток катушки. При максимальном токе $I_{m}$ ЭДС индукции обратится в ноль, напряжения конденсаторов составят $U$ и $2U$, тогда $Q_{1} = 1,5CU$, и энергетическое уравнение запишется так:
$0,25CU^{2} + 1,5CU^{2} + 3CU^{2} = \frac{CU^{2} }{2} + 2CU^{2} + \frac{LI_{m}^{2} }{2}$.
Отсюда
$I_{m}^{2} = \frac{9}{2} \frac{C}{L}U^{2}$, и $I_{m} = 3U \sqrt{ \frac{C}{2L} }$.
Максимальные заряды (и минимальные тоже) получаются при $I = 0$. Тогда запишем
$0,25CU^{2} + Q_{2}U + Q_{2} \cdot 2U = \frac{(-0,5CU + Q_{2} )^{2}}{2C} + \frac{(0,5CU + Q_{2})^{2}}{2C}$.
После простых преобразований получим
$Q_{2}^{2} = 3CUQ_{2}$, откуда $Q_{2} = 0$ или $Q_{2} = 3CU$.
Первый корень дает $Q_{min}$, второй - $Q_{max}$. Следовательно, максимальные заряды конденсаторов будут равны $2,5CU$ и $3,5CU$.
Примечание. Ответ $Q_{2} = 3CU$ можно было угадать: ясно, что в цепи происходят гармонические колебания, максимальный ток соответствует заряду $1,5CU$ - до "максимума" должен пройти еще такой же заряд.