2020-02-14
Из куска тонкого провода, имеющего сопротивление $r = 100 Ом$, сделали квадратный контур и охватили им длинным соленоид, по которому пропускают изменяющийся со временем по линейному закону ток. Ток в контуре составил при этом $I = 5 мА$. Какое напряжение покажет вольтметр, включенный вместо одной из сторон квадрата? Что будет показывать этот вольтметр в другом случае - если сторону квадратного контура не убирать, а просто подключить вольтметр короткими проводами к концам этой стороны? Сопротивление вольтметра $R = 1000 Ом$.
Решение:
Будем считать, что токи, текущие по проводникам, сами не создают заметных магнитных полей (большое сопротивление контура), и пренебрежем дополнительным магнитным потоком от этих токов - мы пренебрегаем при этом самоиндукцией. Найдем ЭДС индукции:
$\frac{ \mathcal{E} }{r} = I, \mathcal{E} =rI = 0,5 B$.
Когда мы включили вместо "четвертушки" контура вольтметр, ток в цепи стал равным
$I_{1} = \frac{ \mathcal{E} }{ \frac{3}{4}r + R } = I \frac{r}{ \frac{3}{4}r + R } = 0,465 мА$.
Вольтметр при этом покажет
$U_{1} = I_{1}R = 0,465 B$.
Рассмотрим последний случай (см. рисунок): через вольтметр течет ток $I_{2}$, ток во внешней цепи $I_{1}$. Тогда
$\mathcal{E} = \frac{3}{4} rI_{1} + \frac{r}{4} (I_{1} - I_{2} )$,
$\mathcal{E} = \frac{3}{4} rI_{1} + RI_{2}$.
Собственно, нам нужно найти $RI_{2}$. Перепишем уравнения в виде
$\mathcal{E} = rI_{1} - \frac{r}{4} I_{2}, \mathcal{E} = \frac{3}{4} rI_{1} + RI_{2}$
и исключим из них $I_{1}$:
$\mathcal{E} = 4RI_{2} + \frac{3}{4}rI_{2} = RI_{2} \left ( 4 + \frac{3}{4} \frac{r}{R} \right )$,
откуда
$U_{2} = RI_{2} = 0,1227 B$.
Можно посчитать ответ и проще - заменить параллельно соединенные сопротивления $\frac{r}{4}$ и $R$ одним резистором и найти токи. Ответ получится тот же.