2020-02-14
Три тонкие пластины в виде кругов диаметром $D$ расположены параллельно друг другу, расстояние между соседними пластинами $d$ ( $d \ll D$ ). Средняя пластина равномерно заряжена по поверхности зарядом $2Q$, крайние - также равномерно, но зарядами противоположного знака по $-Q$ каждая. Найдите потенциалы центров пластин. Других тел рядом нет.
Решение:
Рассмотрим вначале простую систему из двух таких пластин, заряженных равномерно по поверхности зарядами $Q$ и $-Q$ (рис.). Возьмем точку А - она находится в самом центре системы. Ясно, что ее потенциал $\phi_{A} = 0$ (потенциалы от всех зарядов системы компенсируются точно именно для этой точки). Поле на оси системы можно считать однородным (при $d \ll D$ ), его напряженность равна $E = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S }$, и потенциал пластины с зарядом $Q$ равен теперь
$\phi_{A} + E \frac{d}{2} = 0 + \frac{Qd}{2 \epsilon_{0}S }$.
Система пластин, описанная в условии задачи, представляет "сумму" двух рассмотренных нами систем из двух пластин каждая - потенциал центра средней пластины равен сумме потенциалов каждого из двух полей. Тогда (рис.)
$\phi_{Б} = 2 \frac{Qd}{2 \epsilon_{0}S } = \frac{Qd}{ \epsilon_{0}S }$.
Поля в промежутках между пластинами такие же, как в описанном выше случае. Поэтому
$\phi_{В} = \phi_{Г} = \phi_{Б} - Ed = 0$.
Итак, потенциалы центров крайних пластин равны нулю, потенциал центра средней пластины равен
$\phi_{Б} = \frac{Qd}{ \epsilon_{0}S } = \frac{4Qd}{ \epsilon_{0} \pi D^{2} }$.
Видно, что в описанной системе поля на ее оси снаружи получаются совсем малыми - поля пластин очень хорошо друг друга компенсируют.