2020-02-14
На горизонтальном гладком столе покоится клин массой $M$ с углом $\alpha$ при основании. На него наезжает со скоростью $v_{0}$ маленькое тело массой m и начинает подниматься вверх по клину (удара при этом не происходит - у основания клина сделан плавный "въезд"). При какой высоте клина $H$ маленькое тело поднимется по нему на самый верх? С какой скоростью будет двигаться клин после того, как маленькое тело его покинет?
Решение:
Это довольно простая задача - тело и клин едут вместе в тот момент, когда максимальная высота достигнута. Скорость этого движения по горизонтали равна
$u = \frac{mv_{0} }{M + m}$.
Теперь запишем баланс энергий:
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{(M + m)u^{2}}{2} + mgH$.
Отсюда сразу находим необходимую высоту клина:
$H = \frac{v_{0}^{2} }{2g} - \frac{M + m}{2mg} \left ( \frac{mv_{0} }{M + m} \right )^{2} = \frac{v_{0}^{2} }{2g} \frac{1}{1 + \frac{m}{M} }$.
Тут есть только одна маленькая тонкость - на коротком плавном "въезде" на клин (и на обратном пути!) скорость тела (и клина) заметно меняется; там между телом и клином действуют большие силы, необходимые для быстрого "разворота" вектора скорости тела. Скорость клина легко найти, если тело не перескочит через него, а съедет назад. Обозначим скорости после этого $u_{1}$ и $u_{2}$ (рис.) и запишем законы сохранения импульса и энергии:
$mv_{0} = mu_{1} + Mu_{2}$,
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mu_{1}^{2} }{2} + \frac{Mu_{2}^{2}}{2}$.
Получились обычные уравнения - такие же, как при расчете абсолютно упругого удара двух тел. Отсюда находим
$u_{2} = \frac{2v_{0} }{1 + \frac{M}{m} }$.
А вот когда высота клина недостаточна или тело слишком быстро наезжает - придется потруднее. В этом случае удобно представить движение тела в виде суммы двух движений - вместе с клином плюс относительно клина (рис.):
$mv_{0} = Mu + m(u + v \cos \alpha )$,
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{Mu^[2 }{2} + \frac{m ( (u + v \cos \alpha )^{2} + (v \sin \alpha )^{2} ) }{2} + mgH$.
Из этих уравнений и найдется скорость клина $u$.