2020-02-14
По горизонтальному столу скользит плоский лист фанеры, на котором нарисована система координат $xy$. В данный момент скорость точки А с координатами (1; 3) направлена вдоль оси х и равна 1 м/с. Скорость точки Б с координатами (2; 1) составляет в тот же момент угол $45^{ \circ}$ с осью $x$. Где находятся точки листа, скорости которых по величине не превосходят 1 см/с?
Решение:
Будем считать лист фанеры жестким. В этом случае вектор скорости точки Б должен быть направлен, например, так, как показано на рисунке. Найдем положение точки, скорость которой в данный момент оказалась нулевой, т.е. мгновенный центр вращения - МЦВ. Ясно, что эта точка лежит на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей $\vec{v}_{A}$ и $\vec{v}_{B}$ - получается точка МЦВ-1 (1;0). Угловая скорость вращения листа в данный момент равна
$\omega_{1} = \frac{v_{A} }{ h_{1} } = \frac{1 м/с}{3 м} = \frac{1}{3} с^{-1}$.
Ясно, что мгновенные скорости малы у точек вблизи МЦВ-1: они лежат внутри круга с центром (1;0) и радиусом
$r_{1} = \frac{v}{ \omega_{1} } = \frac{1 см/с}{ \frac{1}{3} с^{-1} } = 3 см$.
"Самые дальние" точки, скорости которых не превосходят 1 см/с, лежат на самой окружности.
Аналогично рассмотрим второй случай (рис.2; строго говоря, его можно и не обсуждать, поскольку здесь угол вектора $\vec{v}_{Б}$ с осью $x$ составляет не $45^{ \circ}$, а $135^{ \circ}$ - ну, да ладно!). В этом случае МЦВ-2 находится в точке с координатами (1 ;2), и угловая скорость равна
$\omega_{2} = \frac{v_{A} }{h_{2} } = \frac{1 м/с}{1 м} = 1 с^{-1}$.
Тогда радиус нужного нам круга с центром в точке МЦВ-2 будет
$r_{2} = \frac{v}{ \omega_{2}} = \frac{1 см/с}{1 с^{-1} } = 1 см$.