2020-02-14
На расстоянии 1 м друг от друга закреплены точечные заряды 1 мкКл и -2 мкКл (заряд противоположного знака). В пространстве возникает электростатическое поле. Найдите максимальную разность потенциалов между точками, в которых напряженность этого поля не превышает по величине значения 1 В/м.
Решение:
Точки поля, где напряженность не превышает малую величину $E_{0} = 1В/м$, можно найти либо вдали от системы зарядов, либо там, где поля почти компенсируют друг друга.
Точка, в которой поле в точности равно нулю, находится на прямой, проходящей через заряды $Q$ (здесь $Q = 1 мкКл$) и $-2Q$ (см. рисунок):
$k \frac{Q}{x_{0}^{2} } + k \frac{-2Q}{(x_{0} + L )^{2} } = 0$,
откуда
$x_{0} = \frac{L}{ \sqrt{2} - 1} = \frac{1 м}{ \sqrt{2} - 1 } = 2,4 м$.
Вдали от системы можно считать, что в этой точке находится точечный заряд $q = Q - 2Q = -Q$. Тогда запишем
$k \frac{q}{y^{2} } = E_{0}$, и $y = \sqrt{ \left | \frac{kq}{E_{0} } \right | } = 100 м$
(это и в самом деле сильно превышает $L = 1 м$). Потенциал в такой точке равен
$\phi = k \frac{q}{y} = - \sqrt{kQE_{0}} = -95 B$.
Найдем теперь потенциал в точке $x_{0}$:
$\phi_{0} = k \frac{Q}{x_{0} } + k \frac{-2Q}{x_{0} + L } = k \frac{Q}{x_{0} } \left ( 1 - \frac{2}{ \sqrt{2} } \right ) = k \frac{Q}{L} ( \sqrt{2} - 1 )^{2} = - 1544 В$.
Точки на прямой, в которых напряженность составляет ровно 1 В/м (по модулю), находятся совсем близко к "нулевой" точке (на расстоянии $l = 2,7 мм$ в обе стороны; расчет несложный - его можно провести приближенно), разность потенциалов между любой из этих точек и "нулевой" точкой порядка $1 \cdot 10^{-3} B$ ( $\Delta \phi = E_{ср }l \approx \frac{E_{0}}{2} l \approx 1,3 \cdot 10^{-3} B$).
Итак, максимальной будет разность потенциалов между "нулевой" (почти!) и "бесконечно удаленной" точками:
$| \Delta \phi_{max} | = 1544 B - 0 = 1544 B$.