2020-02-14
Оптическая система, состоящая из двух тонких двояковыпуклых линз с одинаковыми радиусами кривизны поверхностей, изменяет диаметр падающего на систему пучка параллельных лучей в $\gamma$ раз, оставляя пучок параллельным после прохождения системы. Если переместить линзы из воздуха в глицерин, то обе линзы останутся собирающими, но их фокусные расстояния увеличатся в $\alpha$ и $\beta$ раз. Каждая из линз составлена из двух одинаковых плосковыпуклых линз. Их разняли и половинки разных линз соединили вместе (см. рисунок). Во сколько раз увеличится фокусное расстояние такой композитной линзы, если ее переместить из воздуха в глицерин?
Решение:
Пусть $D_{1}$ и $D_{2}$ - оптические силы двух исходных линз, $D$ - оптическая сила композитной линзы. Фокусные расстояния линз связаны с их оптическими силами
обратно пропорциональной зависимостью:
$F_{1} = \frac{1}{D_{1}}, F_{2} = \frac{1}{D_{2} }, F = \frac{1}{D}$.
Из условий $F_{1}^{ \prime} = \alpha F_{1}$ и $F_{2} = \beta F_{1}$ выразим оптические силы линз в жидкости:
$D_{1}^{ \prime} = \frac{D_{1} }{ \alpha}, D_{2}^{ \prime} = \frac{D_{2}}{ \beta }$.
Диаметр проходящего через оптическую систему из двух линз пучка параллельных лучей изменится в $\gamma$ раз, если линзы имеют общую точку фокуса (телескопическая система) и их оптические силы отличаются в $\gamma$ раз. Поэтому запишем
$\frac{D_{1}}{D_{2}} = \gamma$ или $\frac{D_{2} }{D_{1} } = \gamma$.
У линзы с меньшей оптической силой при помещении в оптически более плотную среду оптическая сила изменяется в большее число раз, поэтому из условия $\beta > \alpha$ следует $D_{2} < D_{1}$, т.е.
$\frac{D_{1}}{D_{2} } = \gamma > 1$.
Если линзы приложены одна к другой, то их оптические силы складываются. В качестве линз можно рассматривать половинки исходных линз, следовательно,
$D = \frac{D_{1} + D_{2} }{2}, D^{ \prime} = \frac{D_{1}^{ \prime} + D_{2}^{ \prime} }{2}$.
Подставляя выражения для $D_{1}^{ \prime}$ и $D_{2}^{ \prime}$ и используя соотношение между $D_{1}$ и $D_{2}$, находим
$\frac{F^{ \prime}}{F} = \frac{D}{D^{ \prime} } = \frac{D_{1} + D_{2}}{D_{1}^{ \prime} + D_{2}^{ \prime} } = \frac{ \alpha \beta ( \gamma + 1)}{ \alpha + \beta \gamma }$.