2020-02-14
В цепи на рисунке катушки индуктивности одинаковы, и их можно считать идеальными. Сопротивления вольтметров одинаковы, и их можно считать чисто активными ("омическими"). Амплитуда гармонического напряжения источника составляет $U_{0}$, а частоту этого напряжения можно менять в широких пределах. Какими могут быть максимальные показания каждого из вольтметров? Что при этом будет показывать другой вольтметр?
Решение:
Построим векторную диаграмму, начиная с вектора, изображающего напряжение $U_{1}$ правого вольтметра (рис.). Ток через последовательную цепочку, содержащую этот вольтметр и правую катушку индуктивности, равен
$I_{общ} = \sqrt{ \left ( \frac{U_{1} }{R} \right )^{2} + \left ( \frac{U_{1} }{X_{L} } \right )^{2} }$.
Обозначив $\alpha$ угол между векторами, изображающими напряжения $U_{1}$ и $U_{2}$ соответствующих вольтметров, найдем сумму трех векторов:
$U_{0}^{2} = U_{общ}^{2} = (3U_{1} )^{2} + (U_{2} \sin \alpha - U_{3} \cos \alpha )^{2}$.
Отсюда
$U_{1} = \frac{U_{0}}{ \sqrt{ 9 + \left ( \frac{1}{ \cos \alpha} - \frac{1}{ \sin \alpha} \right )^{2} } }$.
Максимальное значение $U_{1}$ получится в случае, когда минимален знаменатель. Это будет, когда выражение в скобках обратится в ноль:
$\frac{1}{ \cos \alpha } = \frac{1}{ \sin \alpha }, \alpha = 45^{ \circ}, U_{1max} = \frac{U_{0} }{3}$.
В этом случае верхний вольтметр покажет
$U_{2} = U_{1} \sqrt{2} = \frac{ \sqrt{2} }{3} U_{0}$.
Максимальное показание верхнего вольтметра получается на очень низких частотах и составляет $U_{0}$. Показание нижнего вольтметра при этом близко к нулю.