2020-02-14
Дирижабль завис над гористой местностью. Из-за естественной ионизации у воздуха имеется некоторая проводимость. В результате электрический заряд дирижабля уменьшается в два раза за каждые $\tau = 10 мин$. Найдите удельное сопротивление воздуха.
Решение:
Заряд дирижабля зависит от времени следующим образом:
$q = q_{0} \cdot 2^{ \frac{t}{ \tau}}$,
где $q_{0}$ - начальный заряд. Дирижабль разряжается током
$I = - \frac{dq}{dt} = \frac{ln 2}{ \tau } q$.
Можно показать, что в произвольной точке проводящей среды справедлива следующая связь между плотностью тока $j$, напряженностью электрического поля $E$ и удельным сопротивлением среды $\rho$:
$j = \frac{E}{ \rho }$.
Действительно, возьмем маленький цилиндр длиной $L$ и площадью основания $S$, расположенный вдоль силовой линии поля. Напряжение между торцами цилиндра $U = EL$, его сопротивление $R = \frac{ \rho L}{S}$. Поэтому
$j = \frac{I}{S} = \frac{U}{RS} = \frac{EL}{ \frac{ \rho L}{S} S } = \frac{E}{ \rho }$.
Окружим мысленно дирижабль замкнутой поверхностью, расположенной вблизи дирижабля. Через малый элемент $\Delta S_{k}$ этой поверхности идет ток
$\Delta I_{k} = j_{k} \Delta S_{k} = \frac{E_{k} }{ \rho} \Delta S_{k}$,
где $E_{k}$ - напряженность электрического поля, перпендикулярная этому элементу. Суммирование по всем элементам дает
$\sum \Delta I_{k} = \frac{1}{ \rho} \sim E_{k} \Delta S_{k}$.
Поскольку $\sum \Delta I_{k} = I$, а по теореме Гаусса $\sum E \Delta S_{k} = \frac{q}{ \epsilon_{0} }$, то
$I = \frac{q}{ \epsilon_{0} \rho }$.
Сравнив это выражение с полученным ранее выражением для $I$, найдем искомое удельное сопротивление:
$\rho = \frac{ \tau }{ \epsilon_{0} ln 2 } \approx 10^{14} Ом \cdot м$.