2020-02-14
Термодинамический цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор, проводят с порцией гелия. Каким может быть максимальное значение КПД этого цикла, если максимальная температура в цикле составляет $2T_{0}$, а минимальная равна $T_{0}$?
Решение:
Выберем произвольную точку на изотерме $T_{0}$ и обозначим давление и объем газа в этой точке $p_{1}$ и $V$ соответственно (см. рисунок). Пусть максимальное значение давления в цикле составит $xp_{1}$. (Ясно, что $1 \leq x \leq 2$.) Тогда максимальный объем будет равен $\frac{2}{x}V_{1}$. Рассчитаем работу газа в этом цикле:
$A = (xp_{1} - p_{1}) \left ( \frac{2}{x}V_{1} - V_{1} \right )$
и получаемое количество теплоты (гелий - одноатомный газ):
$Q = A_{13} + \Delta U_{13} = xp_{1} \left ( \frac{2}{x} V_{1} - V_{1} \right ) + \frac{3}{2} \nu R (2T_{0} - T_{0} )$.
Учтем еще, что
$p_{1}V_{1} = \nu RT_{0}$.
Тогда КПД цикла будет равен
$\eta = \frac{A}{Q} = \frac{ (x - 1) \left ( \frac{2}{x} - 1 \right ) }{x \left ( \frac{2}{x} - 1 \right ) + \frac{3}{2} }$.
Мы видим, что значение КПД не зависит от выбора начальной точки цикла, а зависит только от отношения $x = \frac{ p_{max} }{p_{min} }$. Поэтому нам достаточно исследовать функцию $\eta (x)$ на максимум.
Возьмем производную от этой функции по х и приравняем ее нулю. После простых преобразований получим уравнение
$x^{2} + 8x - 14 = 0$.
Подходящее решение этого уравнения: $x = \sqrt{30} - 4$. Понятно, что при $x \approx 1$ и при $x \approx 2$ КПД будет очень мал. Значит, мы нашли именно максимум. При указанном значении $x$ КПД примерно равен $\frac{1}{12}$.
Разумеется, при анализе функции $\eta (x)$ на максимум можно обойтись и без производной. Попробуйте сделать это самостоятельно.