2020-02-14
Атомы сорта А летят вдоль оси СС цилиндрического канала радиусом $R$ и сталкиваются с практически неподвижными атомами сорта В. Кинетическая энергия атомов А равна пороговой, так что при центральном ударе образуется молекула АВ, которая далее движется со скоростью $v$. При нецентральном ударе реакция не идет, т.е. атомы сталкиваются упруго. За какое минимальное время после столкновения атомы сорта В смогут от оси цилиндра попасть на стенку канала?
Решение:
Рассмотрим нецентральный удар атомов (см. рисунок). Проведем через центры атомов А и В ось $Oy$, а перпендикулярно ей через точку касания атомов - ось $Ox$. Пусть $\alpha$ - угол между осями СС и $Ox$. В системе координат $Oxy$ проекция импульса атома А на ось $Ox$ после столкновения не изменится, поэтому достаточно рассмотреть центральный удар атома А, движущегося вдоль оси $Oy$, с неподвижным атомом В.
Центр масс сталкивающихся атомов движется вдоль оси $Oy$ со скоростью $v_{y} = v \sin \alpha$. В системе центра масс атом В до столкновения перемещается против оси $Oy$ со скоростью $-v \sin \alpha$, а после столкновения движется со скоростью $v \sin \alpha$. Вернемся в систему отсчета $Oxy$. В ней атом В имеет скорость $v_{By} = 2v \sin \alpha$. Проекция этой скорости на радиальное направление $Or$ равна
$v_{Br} = v_{By} \cos \alpha = 2v \sin \alpha \cos \alpha = v \sin 2 \alpha$.
Понятно, что максимальное значение этой проекции равно $v$. Следовательно, искомое время составляет
$t = \frac{R}{C}$.