2020-02-14
Вырезанный из листа фанеры прямоугольным треугольник с меньшим острым углом $\alpha$ расположен на горизонтальной поверхности (рис.). Чтобы повернуть треугольник относительно закрепленной вертикальной оси, проходящей через вершину А, к треугольнику необходимо приложить минимальную горизонтальную силу $F_{A}$, а чтобы повернуть его относительно закрепленной вертикальной оси, проходящей через вершину В, потребуется минимальная горизонтальная сила $F_{B}$. Какую минимальную горизонтальную силу необходимо приложить к треугольнику, чтобы повернуть его относительно закрепленной вертикальной оси, проходящей через вершину прямого угла С? Считайте, что треугольник прижимается к горизонтальной поверхности равномерно по всей площади.
Решение:
Очевидно, что между треугольником и поверхностью есть трение, поскольку в противном случае для поворота треугольника требовалась бы бесконечно малая горизонтальная сила. Треугольник можно повернуть вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину А, если момент поворачивающей силы будет больше, чем момент силы трения относительно этой оси. При этом поворачивающая сила будет минимальной, если она имеет максимальное плечо, т.е. приложена к вершине другого острого угла и направлена перпендикулярно гипотенузе (рис.). Поэтому для минимальной горизонтальной силы, которая может повернуть треугольник вокруг вершины А, справедливо соотношение
$F_{A}l = M_{тр \: А}$,
где $l$ - длина гипотенузы, $M_{тр \: А}$ - действующий на треугольник АВС момент силы трения относительно оси, проходящей через вершину А. Аналогичные соотношения можно написать для силы $F_{B}$:
$F_{B}l = M_{тр \: В}$
и для искомой силы $F_{C}$:
$F_{C}l \cos \alpha = M_{тр \: С}$
(в последнем равенстве использовано то обстоятельство, что плечо силы $F_{C}$ должно равняться длине катета АС). Так как силы $F_{A}$ и $F_{B}$ даны в условии, то моменты $M_{тр \: А}$ и $M_{тр \: В}$ нам известны, и, следовательно, для нахождения силы $F_{C}$ необходимо связать момент силы трения относительно вершины С с моментами сил трения относительно вершин А и В.
Эту связь в принципе можно установить "честно", вычисляя моменты сил трения. Для этого необходимо разбить треугольник на малые элементы и просуммировать моменты сил трения, которые действуют на каждый элемент. При этом, поскольку сила трения, действующая на каждый элемент массой $\Delta m$ и равная $\mu \Delta m g$, направлена по касательной к окружности, по которой этот элемент поворачивается, то силы трения, действующие на разные элементы треугольника, имеют разные направления, и суммарный момент сил трения не сводится к произведению $\mu mgl_{цт}$, где $l_{цт}$ - расстояние от оси вращения до центра тяжести. Таким образом, вычисление моментов сил трения представляет собой достаточно сложную математическую задачу. Попробуем связать моменты сил трения относительно разных осей, используя соображения подобия. Так как момент силы трения пропорционален силе трения и ее плечу, а сила трения пропорциональна массе (и, следовательно, площади) треугольника, то момент силы трения пропорционален кубу линейного размера треугольника, например - кубу длины гипотенузы:
$M = Kl^{3}$,
где коэффициент пропорциональности $K$ зависит от коэффициента трения, толщины и плотности материала треугольника, а также от угла при той вершине, относительно которой вычисляется момент. Используя две первые формулы, можно записать
$K( \alpha ) = \frac{F_{A}}{l^{2} }, K \left ( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right ) = \frac{F_{B} }{l^{2} }$,
где $K( \alpha )$ и $K \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right )$ - коэффициенты пропорциональности для моментов сил трения относительно осей, проходящих через вершины А и В.
Найдем теперь момент силы трения относительно вершины С. Для этого опустим перпендикуляр CD из вершины С на гипотенузу (рис.). Этот перпендикуляр делит треугольник АВС на два прямоугольных треугольника ADC и BDC. Поэтому действующий на треугольник АВС момент силы трения относительно вершины прямого угла складывается из моментов сил трения, действующих на треугольники ADС и BDC, относительно вершины С:
$M_{C} = M_{1C} + M_{2C}$.
Так как треугольник ADC подобен треугольнику ABC и $\angle ACD = \frac{ \pi}{2} - \alpha$, то действующий на треугольник ADС момент силы трения относительно вершины С
можно записать в виде
$M_{1C} = K \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) \cdot AC^{3} = K \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) l^{3} \cos^{3} \alpha$.
Аналогично найдем действующий на треугольник BDC момент силы трения относительно вершины С:
$M_{2C} = K ( \alpha ) \cdot BC^{3} = K ( \alpha ) l^{3} \sin^{3} \alpha$.
Таким образом, момент силы трения относительно вершины С равен
$M_{C} = F_{A}l \sin^{3} \alpha + F_{B}l \cos^{3} \alpha$.
Теперь можно найти силу $F_{C}$:
$F_{C}l \cos \alpha = F_{A}l \sin^{3} \alpha + F_{B}l \cos^{3} \alpha$,
или
$F_{C} = F_{A} \sin^{2} \alpha tg \alpha + F_{B} \cos^{2} \alpha$.